符号	名称	单位
amplitude_mm	振动振幅 (mm)	mm
mu_eff	等效摩擦系数 μ_eff	—
preload_N	预紧力 F_M	N
size_key	规格	—

齿尖穿透深度计算

1. 物理背景与工程意义

单面齿锥形弹性垫圈（NFE 25‑511）和楔形锁紧垫圈（DIN 25201）的径向齿在预紧力作用下压入被连接件表面，产生机械互锁。穿透深度 $h_{pen}$ 是衡量咬合质量的关键指标：

穿透过浅 → 抗滑移能力不足，振动下可能松脱。
穿透过深 → 被连接件表面压溃，或齿尖本身塑性变形。

因此，需要根据预紧力、齿形和材料硬度定量评估穿透深度，确保可靠咬合且不损坏配合面。

2. 单齿受力分析

假设预紧力 $$F_M$$ 均匀分配到 $$z$$ 个齿，每个齿承受法向力：

F_{tooth} = \frac{F_M}{z}

齿尖形状简化为楔形（顶角 $2\theta$ ，即半角 $\theta$ ），压入塑性材料表面。在法向力作用下，接触面压力达到被连接件的塑性流动压力（硬度），材料发生塑性流动，齿持续压入，直至接触面积足够承载 $F_{tooth}$ 。

3. 穿透深度理论公式

基于压入硬度理论（类比 Brinell/Vickers 硬度测试），齿尖压入深度 $h_{pen}$ 可表达为：

\boxed{h_{pen} = \sqrt{ \frac{F_{tooth}}{C \cdot H_{plate} \cdot \tan\theta} }}

或等价形式：

h_{pen} = \sqrt{ \frac{F_M}{z \cdot C \cdot H_{plate} \cdot \tan\theta} }

其中： - $F_{tooth}$ — 单齿法向力（N） - $$F_M$$ — 预紧力（N） - $$z$$ — 齿数 - $H_{plate}$ — 被连接件的压入硬度（MPa），可取维氏硬度 HV 或 $H \approx 3\sigma_y$ （ $\sigma_y$ 为屈服强度） - $2\theta$ — 齿尖顶角（°）， $\theta$ 为半角 - $$C$$ — 约束因子，对于锥形压头（近似三角形截面）： - 完全塑性、无约束： $C \approx 2.0 \sim 2.5$ - 受周围弹性材料约束（齿槽效应）： $C \approx 1.5 \sim 2.0$

推导思路

压入时齿尖接触面积 $A_{proj} \propto h_{pen} \times w_{tooth}$ ，而齿宽 $w_{tooth} \propto h_{pen}\tan\theta$ （楔面投影长度），故 $A_{proj} \propto h_{pen}^2 \tan\theta$ 。
由力平衡： $F_{tooth} = p_{yield} \times A_{proj} = H_{plate} \times (C_1 h_{pen}^2 \tan\theta)$ ，解出 $h_{pen} \propto \sqrt{F_{tooth}/(H_{plate} \tan\theta)}$ 。引入约束系数 $$C$$ 后得到上述公式。

4. 参数取值指导

参数	推荐取值/范围	说明
$$z$$	按垫圈规格，通常 6–18	齿数越多，单齿力越小
$\theta$	30°–45°（齿尖全顶角 60°–90°）	DIN 25201 垫圈齿尖角约 60°，NFE 25-511 类似
$H_{plate}$	软钢（S235）≈ 1200–1400 MPa（HV 120–140）中碳钢（S355）≈ 1800 MPa 铝合金（6061-T6）≈ 600–800 MPa	可近似为 $H \approx 3R_{p0.2}$
$$C$$	1.5（齿槽约束情况） 2.0（自由表面）	齿紧邻弹性材料，推荐取 1.5

5. 计算示例

已知：
- M10 连接，预紧力 $F_M = 18\,000$ N
- 垫圈齿数 $$z = 12$$
- 齿尖半角 $\theta = 30°$ ( $\tan 30° = 0.577$ )
- 被连接件：S235 钢，硬度 $H_{plate} \approx 1300$ MPa
- 取 $$C = 1.5$$

单齿力：

F_{tooth} = \frac{18\,000}{12} = 1\,500\ \text{N}

穿透深度：

h_{pen} = \sqrt{ \frac{1\,500}{1.5 \times 1\,300 \times 0.577} } = \sqrt{ \frac{1\,500}{1.5 \times 750.1} } = \sqrt{ \frac{1\,500}{1\,125.15} } \approx \sqrt{1.333} \approx 1.155\ \text{mm}

评估：
约 1.16 mm 的穿透深度对于普通钢材明显过深（预计应 ≤ 0.3 mm）。说明单齿载荷过大或硬度取值偏低——实际上 S235 屈服强度 ~235 MPa，但表面由于加工硬化、氧化层等，局部硬度可能更高；且齿尖并非理想楔形，实际接触宽度随深度增大很快，会迅速增加承载力，限制深度。此外，齿在轴向受载时并非自由压入，而是受相邻材料约束， $$C$$ 因子更接近 2.5，会降低深度。

若改用 $$C=2.5$$ ，则：

h_{pen} = \sqrt{ \frac{1\,500}{2.5 \times 1\,300 \times 0.577} } = \sqrt{ \frac{1\,500}{1\,875} } \approx \sqrt{0.8} \approx 0.89\ \text{mm}

仍偏大。这表明在上述参数下，12 齿难以满足穿透不过深的要求，可能需要增加齿数或降低预紧力。若被连接件为高强度钢（ $H \approx 3000$ MPa）：

h_{pen} = \sqrt{ \frac{1\,500}{1.5 \times 3\,000 \times 0.577} } \approx 0.76\ \text{mm}

仍然较大。实际上，垫圈设计时已优化齿形，使穿透深度控制在 0.1–0.3 mm 量级，因为齿宽随深度快速增大，上述简化未考虑齿宽变化。若要更精确，需用有限元或试验修正。但公式清晰地反映了各参数的相对影响。

6. 咬合效果评估准则

6.1 最小穿透深度（保证咬合）

h_{pen} \ge h_{min}

h_{min}

应大于被连接件表面粗糙度和污染层厚度，确保齿尖突破氧化层、涂层等实现金属接触。一般要求： - 钢制被连接件： $h_{min} \approx 0.05 \sim 0.10$ mm - 铝合金等软材料： $h_{min} \approx 0.10 \sim 0.20$ mm

6.2 最大穿透深度（防压溃）

h_{pen} \le h_{max}

h_{max}

由被连接件材料厚度、表面硬化层深度或可接受变形量决定。通常： - 对于薄板或有表面硬化层： $h_{max} \le$ 硬化层厚度的 50% - 一般钢结构： $h_{max} \approx 0.3$ mm

6.3 理想穿透深度范围

综合以上，设计目标区间：

0.05 \sim 0.30\ \text{mm（钢）} \quad ; \quad 0.10 \sim 0.40\ \text{mm（铝）}

7. 影响穿透深度的其他因素

垫圈硬度：垫圈硬度 ≥ 被连接件硬度 + 100 HV，否则齿尖可能先压溃。
表面涂层：达克罗、锌镍等涂层较软，齿可穿透，但涂层过厚（>20 μm）会减少有效穿透深度。
多次拆装：齿尖磨损使顶角变大，等效 $\theta$ 增大，穿透能力下降。
动态载荷：冲击下局部应力超过静态硬度，穿透可能加深。

8. 设计建议

选择合适齿数：确保单齿力适中，既不过载也不欠载。
校核表面压力：穿透深度满足要求的同时，须通过 R10 表面压力校核。
实测验证：通过截面金相或轮廓仪测量实际压痕深度，标定计算公式中的 $$C$$ 因子。
材料匹配：对于高硬度被连接件（HV > 300），需选用特殊高硬度垫圈或考虑齿形优化。

总结：
齿尖穿透深度 $h_{pen} = \sqrt{F_{tooth} / (C \cdot H_{plate} \cdot \tan\theta)}$ 综合了预紧力、齿形和材料硬度的影响，是评估齿纹垫圈咬合效果的核心物理量。设计时应将穿透深度控制在 0.1–0.3 mm 以兼顾防滑与防压溃。

$R_z$

振动残余预紧比

公式表达式

参数列表

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