符号	名称	单位
material	材料	—
preload_N	预紧力 F_M	N
size_key	规格	—

齿尖接触压力：Hertz 线接触理论计算（NFE 25-511）

1. 问题背景

NFE 25-511 单面齿锥形弹性垫圈的径向齿在预紧力作用下压入被连接件和螺栓头/螺母表面。齿尖与被压面之间形成窄带接触，接触压力极高。若压力超过材料屈服极限，将导致局部塑性变形，影响咬合可靠性和垫圈重复使用性。因此，需基于 Hertz 线接触理论 计算齿尖接触压力，并以此校核表面强度。

2. 齿尖接触几何简化

齿尖截面可视为一个曲率半径为 $$R$$ 的圆柱面沿径向（长度 $$L$$ ）与平面接触，形成线接触。

$$R$$ — 齿尖顶部的等效曲率半径（mm），由齿形决定（典型值 0.05～0.2 mm）
$$L$$ — 单齿接触线的长度（mm），即齿的径向宽度
$$z$$ — 齿数

单齿承受的法向力：

F_{tooth} = \frac{F_M}{z}

单位接触线长度上的力（线载荷）：

F' = \frac{F_{tooth}}{L} = \frac{F_M}{z \cdot L}

3. Hertz 线接触公式

两弹性体线接触（圆柱面–平面）的 Hertz 解：

3.1 接触半宽

b = \sqrt{\frac{4 F' R}{\pi E^*}}

3.2 最大接触压力

\boxed{p_0 = \frac{2 F'}{\pi b} = \sqrt{\frac{F' E^*}{\pi R}}}

3.3 接触区内压力分布

p(x) = p_0 \sqrt{1 - \left(\frac{x}{b}\right)^2}, \quad -b \le x \le b

其中 $$E^*$$ 为等效弹性模量：

\frac{1}{E^*} = \frac{1 - \nu_1^2}{E_1} + \frac{1 - \nu_2^2}{E_2}

$E_1, \nu_1$ — 垫圈材料（通常为弹簧钢， $E \approx 206\,000\ \text{MPa}, \nu \approx 0.3$ ）
$E_2, \nu_2$ — 被连接件材料（钢材类似，铝合金 $E \approx 70\,000\ \text{MPa}, \nu \approx 0.33$ ）

4. 塑性校核准则

当最大接触压力超过材料的压入硬度（约为 $2.8 \sim 3.0 \, \sigma_y$ ，或直接取维氏硬度 $$H_V$$ ）时，齿尖处将发生局部塑性屈服，接触面积扩大，压力重新分布。

许用接触压力（弹性范围）可保守取：

p_{adm} \le 1.6 \cdot \sigma_y \quad (\text{或 } H_V / 3)

对于钢–钢接触，若 $p_0 > 1800\ \text{MPa}$ （对应约 600 MPa 屈服强度），将开始微塑性。通常齿尖接触压力远高于此，因此局部塑性不可避免，这正是齿尖能“嵌入”表面的原因。

设计时应控制塑性区深度不过大，避免齿完全压溃。通过限制 $$p_0$$ 不超过材料的 $3\sigma_y$ 来保持宏观弹性。

5. 计算示例

已知条件：

M10 螺栓，预紧力 $F_M = 18\,000\ \text{N}$
垫圈齿数 $$z = 12$$ ，齿尖曲率半径 $R = 0.15\ \text{mm}$ ，齿宽 $L = 1.5\ \text{mm}$
垫圈材料：弹簧钢， $E_1 = 206\,000\ \text{MPa}, \nu_1 = 0.3$
被连接件：中碳钢， $E_2 = 206\,000\ \text{MPa}, \nu_2 = 0.3$

等效弹性模量：

\frac{1}{E^*} = \frac{1 - 0.09}{206000} + \frac{1 - 0.09}{206000} = \frac{2 \times 0.91}{206000} \approx 8.835 \times 10^{-6}

E^* \approx 113\,200\ \text{MPa}

线载荷：

F' = \frac{18\,000}{12 \times 1.5} = \frac{18\,000}{18} = 1\,000\ \text{N/mm}

接触半宽与最大压力：

b = \sqrt{\frac{4 \times 1000 \times 0.15}{\pi \times 113200}} = \sqrt{\frac{600}{355\,600}} \approx \sqrt{0.001687} \approx 0.0411\ \text{mm}

p_0 = \frac{2 \times 1000}{\pi \times 0.0411} \approx \frac{2000}{0.1291} \approx 15\,490\ \text{MPa}

评估：

该压力远超钢材屈服强度（≈ 1000～1500 MPa），说明齿尖处必然发生局部塑性变形。实际接触半宽将因塑性而扩大，压力降低。根据经验，塑性修正后的稳定接触压力约为 $p_{ult} \approx 3\sigma_y \approx 3\,000\ \text{MPa}$ （对于硬钢），此时齿尖嵌入深度约为 Hertz 理论估算的 2～3 倍。

若被连接件为铝合金（ $E_2=70\,000\ \text{MPa}, \sigma_y\approx 300\ \text{MPa}$ ），则 $$E^*$$ 更低、许用压力更小，齿嵌入将更深，需特别注意压溃风险。

6. 齿尖塑性接触的简化评估

当 Hertz 压力超过材料硬度时，可采用平均接触压力近似为材料的约束硬度：

p_{ave} \approx C \cdot \sigma_y

其中 $C \approx 2.8 \sim 3.0$ （完全塑性约束）。此时实际接触半宽 $b_{eff}$ 可由力平衡确定：

F' = p_{ave} \cdot 2 b_{eff} \quad \Rightarrow \quad b_{eff} = \frac{F'}{2 C \sigma_y}

对于上述例（钢–钢， $\sigma_y=1000\ \text{MPa}$ ）：

b_{eff} = \frac{1000}{2 \times 3 \times 1000} \approx 0.167\ \text{mm}

比 Hertz 弹性半宽大 4 倍，压力降至约 3000 MPa，与材料硬度匹配。

7. 工程判断标准

条件	解释
$p_0 < 1.6\,\sigma_y$	完全弹性，无压痕，咬合不足
$1.6\,\sigma_y \le p_0 \le 3\,\sigma_y$	微塑性，齿尖轻微嵌入，理想工作区
$p_0 > 3\,\sigma_y$	显著塑性，嵌入深度大，需校核表面压溃和重复使用性

对于 NFE 25-511 垫圈，通常希望进入微塑性状态以确保可靠咬合，但必须避免被连接件表面发生宏观压溃。因此，设计时需根据被连接件材料强度调整预紧力或齿数，使 $$p_0$$ 处于合理区间。

8. 与表面压力校核（VDI 2230 R10）的关系

Hertz 齿尖接触压力属于局部微观接触，而 VDI 2230 R10 的 $p_{Bmax} = F_{Mmax}/A_p$ 是名义支承面压力。两者性质不同： - 齿尖压力决定咬入深度和微观塑性； - 名义压力防止整个支承面宏观压溃。

两者需同时满足。若名义压力已接近 $$p_G$$ ，加上齿尖超高压，可能导致被连接件表面严重损伤。此时应增大垫圈外径，或选用更大齿尖半径的垫圈。

总结：
利用 Hertz 线接触公式 $p_0 = \sqrt{F' E^* / (\pi R)}$ 可计算齿尖理论弹性接触压力，据此评估咬合初始状态。由于压力极高，齿尖通常进入微塑性，实际压力由材料硬度限制。设计时应将塑性接触压力控制在 $3\sigma_y$ 以下，并与整体表面压力校核配合，确保既可靠咬合又不压溃被连接件。

齿尖接触压力

公式表达式

参数列表

需要计算该公式？

详细计算指南