符号	名称	单位
De	外径 Dₑ	mm
Di	内径 Dᵢ	mm
h0	锥高 h₀	mm
material	材料	—
t	厚度 t	mm

DIN 6796 碟形垫圈展平力计算

1. 标准与应用背景

DIN 6796 规定了一种碟形弹簧垫圈（或称锥形弹性垫圈），用于螺栓连接中以提供弹性夹紧力，补偿嵌入、热膨胀等引起的预紧力损失。此类垫圈的自由状态呈截锥形，在螺栓预紧力作用下被压缩。当压缩量等于自由锥高 $$h_0$$ 时，垫圈被完全展平，此时所产生的轴向载荷称为展平力 $F_{flat}$ 。

在螺栓预紧力设计中，展平力是一个关键限制：工作预紧力必须明显小于展平力，否则垫圈将被压平而丧失弹性补偿能力，甚至引发压溃或断裂。

2. 展平力理论公式

碟形垫圈的力‑变形关系遵循经典的 Almen‑Laszlo 理论（同 DIN 2093 碟形弹簧）。当压缩量 $$s = h_0$$ 时，垫圈完全展平，公式简化为：

\boxed{F_{flat} = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^3 \cdot h_0}{K_1 \cdot D_e^2}}

式中： - $F_{flat}$ — 展平力（N） - $$E$$ — 材料弹性模量（钢取 206 000 MPa） - $\nu$ — 材料泊松比（钢取 0.3） - $$t$$ — 垫圈材料厚度（mm） - $$h_0$$ — 自由锥高（mm），即垫圈内缘与外缘在自由状态下的轴向高度差 - $$D_e$$ — 垫圈外径（mm） - $$K_1$$ — 形状系数，仅取决于外内径比 $$c = D_e/D_i$$

形状系数 $$K_1$$ 的计算式：

K_1 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\left(\dfrac{c-1}{c}\right)^2}{\dfrac{c+1}{c-1} - \dfrac{2}{\ln c}}

该系数体现了不同径向宽度比对碟形弹簧弯曲刚度的影响。宽度越大（ $$c$$ 越大）， $$K_1$$ 越大，展平力越小。

3. 公式推导简述

Almen‑Laszlo 通用载荷公式为：

F(s) = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^4}{K_1 D_e^2} \cdot \frac{s}{t} \left[ \left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{t} \right)\left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{2t} \right) + 1 \right]

令 $$s = h_0$$ ，则 $\dfrac{h_0}{t} - \dfrac{s}{t} = 0$ ，中括号内余下 1，于是：

F_{flat} = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^4}{K_1 D_e^2} \cdot \frac{h_0}{t} \cdot 1 = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^3 h_0}{K_1 D_e^2}

即得展平力的简洁形式。

4. 螺栓预紧力设计中的应用准则

为保证垫圈始终工作在弹性范围，且不会被意外压平，螺栓设计时应遵循：

\boxed{F_{Mmax} \le \frac{F_{flat}}{S_{flat}}}

$F_{Mmax}$ — 最大装配预紧力（含拧紧散差，由 VDI 2230 R6 确定）
$S_{flat}$ — 防压平安全系数，通常取 1.2 ~ 1.5

安全系数的选取建议： - 常规静载连接： $S_{flat} = 1.3$ - 有冲击或振动： $S_{flat} = 1.5$ - 当垫圈刚度对连接至关重要时，取更高值

若校核不通过，需选择更大型号（增大 $$D_e$$ 、 $$t$$ 或 $$h_0$$ ）或改用多垫圈叠合结构。

5. 计算示例

已知 DIN 6796 垫圈规格（类似 M10 用）： - 外径 $$D_e = 20$$ mm - 内径 $$D_i = 10.2$$ mm - 厚度 $$t = 1.5$$ mm - 自由锥高 $$h_0 = 1.0$$ mm - 材料：弹簧钢 50CrV4， $E = 206\,000$ MPa， $\nu = 0.3$

步骤1：计算 $$c$$ 和 $$K_1$$

c = \frac{20}{10.2} \approx 1.9608, \quad \ln c \approx 0.6733

\frac{c-1}{c} = \frac{0.9608}{1.9608} \approx 0.4900, \quad \left(\frac{c-1}{c}\right)^2 \approx 0.2401

\frac{c+1}{c-1} = \frac{2.9608}{0.9608} \approx 3.081, \quad \frac{2}{\ln c} = \frac{2}{0.6733} \approx 2.971

分母 = $$3.081 - 2.971 = 0.110$$

K_1 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{0.2401}{0.110} \approx 0.3183 \cdot 2.1827 \approx 0.6947

步骤2：计算展平力

\frac{4E}{1-\nu^2} = \frac{4 \times 206000}{1 - 0.09} = \frac{824000}{0.91} \approx 905\,495\ \text{MPa}

F_{flat} = 905\,495 \times \frac{1.5^3 \times 1.0}{0.6947 \times 20^2} = 905\,495 \times \frac{3.375}{0.6947 \times 400} \approx 905\,495 \times \frac{3.375}{277.88} \approx 905\,495 \times 0.012146 \approx 11\,000\ \text{N}

步骤3：校核预紧力 若螺栓最大装配预紧力 $F_{Mmax} = 7\,000$ N，取 $S_{flat} = 1.3$ ：

\frac{F_{flat}}{1.3} = \frac{11\,000}{1.3} \approx 8\,460\ \text{N} \ge 7\,000\ \text{N} \quad \text{通过}

6. 注意事项

材料与温度
弹性模量 $$E$$ 随温度升高而降低，高温下展平力下降。需用工作温度下的 $$E$$ 值。
制造公差
厚度 $$t$$ 和锥高 $$h_0$$ 的制造偏差会显著影响展平力（ $$t^3$$ 倍关系）。设计时应以下偏差尺寸（最小 $$t$$ 、最小 $$h_0$$ ）计算最小展平力，确保最不利情况下仍有足够安全余量。
齿纹修正
若 DIN 6796 垫圈带齿（类似 NFE 25-511），齿部削弱截面，展平力会略低于光滑碟簧理论值。可通过乘以修正系数 $\beta_{strié}$ （0.7~0.9）进行修正。建议优先使用制造商提供的实测特性。
多垫圈组合
对合（串联）： $$m$$ 片对合时，总展平力与单片相同，但总压缩行程为 $m \times h_0$ 。
叠合（并联）： $$n$$ 片叠合时，总展平力为 $n \times F_{flat}$ ，压缩行程仍为 $$h_0$$ 。
组合方式需遵循 DIN 6796 或制造商规定。
与 VDI 2230 衔接
展平力是垫圈选型的首要强度条件。在完成 VDI 2230 R6 最大预紧力计算后，必须按本公式校核垫圈展平安全系数。

总结：
DIN 6796 碟形垫圈的展平力 $F_{flat} = \dfrac{4E}{1-\nu^2} \cdot \dfrac{t^3 h_0}{K_1 D_e^2}$ 是垫圈弹性能力的极限指标。在螺栓预紧力设计中，应确保最大工作预紧力不超过展平力除以安全系数 $S_{flat}$ ，以保证垫圈在整个服役期间提供可靠的弹性补偿。

展平力计算

公式表达式

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