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F-6796-A002force 已核验

力-挠度方程

任意挠度 s 下的垫圈载荷 F(s)。

公式表达式

参数列表

符号名称单位
De外径 Dₑmm
Di内径 Dᵢmm
h0锥高 h₀mm
material材料—
s挠度 smm
t厚度 tmm

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详细计算指南

DIN 6796 力‑挠度方程：任意压缩量下的载荷 $F(s)$

1. 垫圈类型与力学模型

DIN 6796 规定了碟形弹性垫圈（锥形弹簧垫圈），通常为光滑锥面、无齿纹，用于螺栓连接中提供轴向弹性力，以补偿嵌入、热膨胀等导致的预紧力损失。其力学行为完全符合 Almen‑Laszlo 碟形弹簧理论，可精确描述任意轴向压缩量 $s$ 下的载荷 $F(s)$。

2. 核心公式

碟形垫圈在轴向压缩量 $s$ （$0 \le s \le h_0$）时的轴向力为：

$$\boxed{F(s) = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^4}{K_1 D_e^2} \cdot \frac{s}{t} \left[ \left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{t} \right)\left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{2t} \right) + 1 \right]}$$

式中： - $F(s)$ — 对应压缩量 $s$ 的垫圈轴向力（N） - $E$ — 材料弹性模量（钢 ≈ 206 000 MPa） - $\nu$ — 泊松比（钢 ≈ 0.3） - $t$ — 垫圈材料厚度（mm） - $h_0$ — 自由锥高（mm），即垫圈内缘与外缘在自由状态下的高度差 - $D_e$ — 垫圈外径（mm） - $K_1$ — 形状系数，仅由外内径比 $c = D_e/D_i$ 决定

2.1 形状系数 $K_1$

$$K_1 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\left(\dfrac{c-1}{c}\right)^2}{\dfrac{c+1}{c-1} - \dfrac{2}{\ln c}}$$

$K_1$ 的物理意义：表征碟形截面弯曲刚度与径向宽度比的关系。$c$ 越大（垫圈越宽），$K_1$ 越大，垫圈越“软”。

3. 无量纲化形式（便于编程与查表）

定义无量纲量：

$$\delta = \frac{s}{t}, \qquad \eta = \frac{h_0}{t}$$

则力公式化为：

$$F(\delta) = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^4}{K_1 D_e^2} \cdot \delta \left[ (\eta - \delta)(\eta - \frac{\delta}{2}) + 1 \right]$$

该形式下，中括号内的值反映了碟形效应随压缩量的非线性变化。当 $\delta = \eta$ （即 $s=h_0$）时，中括号 = 1，力达到展平力 $F_{flat}$。

4. 力‑挠度曲线的特征

典型 DIN 6796 垫圈（$\eta \approx 0.4 \sim 1.3$）的曲线形状：

  • $\eta < \sqrt{2}$（常见情形）：刚度随压缩增加而递减，曲线渐趋平缓。
  • $\eta \approx \sqrt{2}$：在工作段近似等刚度（线性弹簧）。
  • $\eta > \sqrt{2}$：刚度先增后减，存在一个拐点，可能出现负刚度区（不用于常规螺栓连接）。

螺栓用 DIN 6796 垫圈通常设计为 $\eta \approx 0.6 \sim 0.9$，以保证在正常预紧力范围内具有近似线性的弹性特性。

重要限制：为避免垫圈翻转或应力过高，推荐最大工作压缩量：

$$s_{max} \le 0.75\,h_0$$

在该范围内，公式精度良好，且垫圈处于弹性安全域。

5. 与螺栓设计系统的衔接

5.1 垫圈刚度

垫圈在某一工作点 $s_0$ 处的切线刚度为：

$$k_W = \left.\frac{dF}{ds}\right|_{s=s_0}$$

可由力‑挠度方程求导得到，或直接取用标准曲线。该刚度用于 VDI 2230 的柔度叠加：

$$\delta_W = 1/k_W$$

系统总柔度 $\delta_{total} = \delta_S + \delta_P + \delta_W$，进而计算预紧力损失与载荷分配。

5.2 预紧力对应的压缩量

由目标预紧力 $F_{M}$ 反求垫圈压缩量，需解非线性方程 $F(s) = F_M$。可利用数值方法或查制造商提供的 $F-s$ 表格。确认 $s$ 在 $0.1h_0 \le s \le 0.75h_0$ 范围内。

5.3 展平力校核

当 $s = h_0$ 时，公式简化为展平力：

$$F_{flat} = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^3 h_0}{K_1 D_e^2}$$

必须保证 $F_{Mmax} \le F_{flat}/S_{flat}$（$S_{flat} \ge 1.3$），详见前文“展平力计算”。

6. 计算示例

垫圈参数（类似 M10 用 DIN 6796）： - $D_e = 20$ mm, $D_i = 10.2$ mm → $c = 1.961$, $\ln c \approx 0.673$ - $t = 1.5$ mm, $h_0 = 1.0$ mm → $\eta = 0.667$ - $E = 206\,000$ MPa, $\nu = 0.3$

步骤1：计算 $K_1$

$$\frac{c-1}{c} = \frac{0.961}{1.961} \approx 0.490,\quad \left(\frac{c-1}{c}\right)^2 = 0.240$$
$$\frac{c+1}{c-1} - \frac{2}{\ln c} = \frac{2.961}{0.961} - \frac{2}{0.673} = 3.081 - 2.971 = 0.110$$
$$K_1 = \frac{0.240}{\pi \times 0.110} \approx 0.694$$

步骤2：求 $s = 0.5$ mm 时的载荷

$\delta = 0.5/1.5 = 0.333$

中括号项： $(\eta - \delta)(\eta - \delta/2) + 1 = (0.667-0.333)(0.667-0.167)+1 = 0.334 \times 0.5 + 1 = 1.167$
基础常数： $\dfrac{4E}{1-\nu^2} \approx 905\,495$ MPa
形状因子： $\dfrac{t^4}{K_1 D_e^2} = \dfrac{1.5^4}{0.694 \times 20^2} = \dfrac{5.0625}{0.694 \times 400} = \dfrac{5.0625}{277.6} \approx 0.01824$

$$F = 905\,495 \times 0.01824 \times 0.333 \times 1.167 \approx 905\,495 \times 0.00709 \approx 6\,420\ \text{N}$$

步骤3：验证
该垫圈的展平力 $F_{flat}$ 为（$\delta=\eta=0.667$ 时中括号=1）：

$$F_{flat} = 905\,495 \times 0.01824 \times 0.667 \approx 11\,000\ \text{N}$$

在工作压缩量 0.5 mm 时，力为 6.4 kN，约为展平力的 58%，在安全弹性区间。

7. 应用注意事项

  1. 齿纹影响
    若垫圈表面有齿（如 NFE 25-511 型），力‑挠度关系需乘以齿纹修正因子 $\beta_{strié}$（0.7～0.9）。DIN 6796 标准垫圈通常无齿，直接使用本公式。

  2. 材料与温度
    弹性模量 $E$ 随温度升高而下降，高温下力值降低，需按工作温度修正。

  3. 制造公差
    厚度 $t$、锥高 $h_0$ 的公差显著影响力值（$t^3$ 关系）。设计时应取最小厚度和最小锥高组合，计算最小力，确保在最不利情况下满足弹性补偿需求。

  4. 多垫圈组合

  5. 对合（串联）：总变形量 = 单片变形量 × 片数，总载荷 = 单片载荷。
  6. 叠合（并联）：总载荷 = 单片载荷 × 片数，总变形量 = 单片变形量。
    组合后的力‑挠度关系通过上述规则叠加。

总结：
DIN 6796 碟形垫圈的力‑挠度方程基于 Almen‑Laszlo 理论，完整描述了从自由状态到完全展平的弹性载荷变化。使用该方程可精确获得任意预紧力下的垫圈压缩量、刚度和展平安全裕度，是螺栓连接弹性补偿设计的基础。设计时应结合 VDI 2230 系统，确保垫圈工作点在弹性安全区。