符号	名称	单位
De	外径 Dₑ	mm
Di	内径 Dᵢ	mm
h0	锥高 h₀	mm
material	材料	—
t	厚度 t	mm

DIN 6796 力‑挠度曲线数据生成

1. 生成目标

为设计人员提供 DIN 6796 碟形弹性垫圈在 0 ≤ s ≤ h₀ 范围内的完整 力‑挠度扫描数据，用于绘制特征曲线、刚度分析、预紧力‑压缩量匹配以及与 VDI 2230 系统衔接。

数据基于经典的 Almen‑Laszlo 公式，适用于光滑锥面无齿的 DIN 6796 垫圈。

2. 计算公式回顾

无量纲压缩量 $\delta = s/t$ ，锥高比 $\eta = h_0/t$ ，载荷公式：

F(s) = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^4}{K_1 D_e^2} \cdot \delta \left[ (\eta - \delta)\left(\eta - \frac{\delta}{2}\right) + 1 \right]

其中形状系数：

K_1 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\left(\dfrac{c-1}{c}\right)^2}{\dfrac{c+1}{c-1} - \dfrac{2}{\ln c}}, \quad c = \frac{D_e}{D_i}

3. 生成扫描数据的方法

获取垫圈几何与材料参数：
$D_e, D_i, t, h_0, E, \nu$

（通常取 MPa, ）。

计算常数：
外内径比 $$c = D_e/D_i$$
$$K_1$$ 使用上述公式
常数因子 $C_F = \dfrac{4E}{1-\nu^2} \cdot \dfrac{t^4}{K_1 D_e^2}$
设定压缩量序列：
从 $$s=0$$ 到 $$s = h_0$$ （完全展平），步长可取 $$0.05h_0$$ 或更细。
若仅需要弹性工作区，可限制 $s \le 0.75h_0$ 。
逐点计算 $$F(s)$$ ：
对每个 $$s$$ ，计算 $\delta = s/t$ ，代入无量纲公式得到 $$F$$ 。
输出表格（ $$s$$ [mm], $$F$$ [N]），供绘图或进一步分析。

4. 完整示例：M10 用 DIN 6796 垫圈

4.1 参数选取

参数	数值	单位
外径 $$D_e$$	20.0	mm
内径 $$D_i$$	10.2	mm
厚度 $$t$$	1.5	mm
自由锥高 $$h_0$$	1.0	mm
弹性模量 $$E$$	206 000	MPa
泊松比 $\nu$	0.3	–

4.2 常数计算

$c = 20.0 / 10.2 \approx 1.9608$
$\ln c \approx 0.6733$
$\dfrac{c-1}{c} = \dfrac{0.9608}{1.9608} \approx 0.4900$
$\left(\dfrac{c-1}{c}\right)^2 \approx 0.2401$
$\dfrac{c+1}{c-1} = \dfrac{2.9608}{0.9608} \approx 3.081$
$\dfrac{2}{\ln c} \approx \dfrac{2}{0.6733} \approx 2.971$
分母 = $$3.081 - 2.971 = 0.110$$
$K_1 = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{0.2401}{0.110} \approx 0.6947$
$\dfrac{4E}{1-\nu^2} = \dfrac{4\times206000}{1-0.09} = \dfrac{824000}{0.91} \approx 905\,495\ \text{MPa}$
$C_F = 905\,495 \times \dfrac{1.5^4}{0.6947 \times 20^2} = 905\,495 \times \dfrac{5.0625}{277.88} \approx 905\,495 \times 0.018215 \approx 16\,497\ \text{N/mm（注意单位修正）}$

更精确地保留中间量：
$t^4 = 5.0625\ \text{mm}^4$ ， $K_1 D_e^2 = 0.6947 \times 400 = 277.88$
$\dfrac{t^4}{K_1 D_e^2} = 0.018215$
$C_F = 905\,495 \times 0.018215 = 16\,497\ \text{N}$ （这是当 $\delta=1$ 且中括号=1 时的力？不对，应当乘以 $\delta$ 和中括号。实际上 $$C_F$$ 是当 $\delta=1$ 且中括号=1 时的 $$F$$ ，但 $\delta=1$ 仅在 $$t=h_0$$ 时可能。此处只是系数。）

实际计算力时用：

F = 16\,497 \times \delta \times [(\eta-\delta)(\eta-\delta/2)+1]

其中 $\eta = h_0/t = 1.0/1.5 = 0.6667$ 。

4.3 力‑挠度扫描数据表

步长 $\Delta s = 0.1\ \text{mm}$ ，从 $$s=0$$ 至 $s=1.0\ \text{mm}$ 。

$$s$$ (mm)	$\delta = s/t$	中括号项	$$F$$ (N)
0.00	0.0000	1.0000	0
0.10	0.0667	1.0400	1 144
0.20	0.1333	1.0741	2 365
0.30	0.2000	1.1022	3 639
0.40	0.2667	1.1244	4 956
0.50	0.3333	1.1407	6 277
0.60	0.4000	1.1511	7 601
0.70	0.4667	1.1556	8 928
0.80	0.5333	1.1541	10 256
0.90	0.6000	1.1467	11 587
1.00	0.6667	1.1333	12 922

（表中 $$F$$ 值取整，精确值可通过计算器获得。）

注意： 展平力 $F_{flat}$ 为 $s = h_0 = 1.0\ \text{mm}$ 时的力，本例中 $F_{flat} \approx 12.9\ \text{kN}$ 。此值与先前快速估算的 11 kN 有出入，因先前计算 $$C_F$$ 时圆整导致。本表采用更精确的中间值：
- $$C_F$$ 精确 = $905\,495 \times (5.0625 / 277.88) = 16\,497$
- $F_{flat} = 16\,497 \times 0.6667 \times 1.1333 = 16\,497 \times 0.7556 \approx 12\,465\ \text{N}$ （与表中 12 922 有差异，因中括号项在 $\delta=0.6667$ 时实际应为 $(\eta-\delta)(\eta-\delta/2)+1 = (0)(0.3333)+1 = 1.0$ ！）
啊，错误：当 $\delta=\eta=0.6667$ 时， $\eta-\delta=0$ ，因此中括号 = 1。所以 $F_{flat} = 16\,497 \times 0.6667 \times 1 = 10\,998\ \text{N}$ 。表中最后一行的中括号项应为 1.0，而不是 1.1333。之前计算中括号时误用了 $\delta=0.6667$ 但未置零。正确计算如下：

$s=1.0\ \text{mm}, \delta=0.6667$ ， $\eta-\delta=0$ ，则中括号 = $0 \times (0.6667-0.3333) + 1 = 1$ 。因此 $F = 16\,497 \times 0.6667 \times 1 = 10\,998\ \text{N}$ 。
表中前几行的中括号也应重新计算。

下面给出修正后的准确扫描数据，步长 0.1 mm，精确到 1 N。

4.4 修正后的标准数据表

$$s$$ (mm)	$\delta$	$(\eta-\delta)(\eta-\delta/2)+1$	$$F$$ (N)
0.00	0.0000	1.0000	0
0.10	0.0667	$(0.6000)\times(0.6333)+1 = 1.3800$	$16\,497 \times 0.0667 \times 1.3800 = 1\,520$
0.20	0.1333	$(0.5334)\times(0.6000)+1 = 1.3200$	$16\,497 \times 0.1333 \times 1.3200 = 2\,904$
0.30	0.2000	$(0.4667)\times(0.5667)+1 = 1.2644$	$16\,497 \times 0.2000 \times 1.2644 = 4\,171$
0.40	0.2667	$(0.4000)\times(0.5334)+1 = 1.2133$	$16\,497 \times 0.2667 \times 1.2133 = 5\,339$
0.50	0.3333	$(0.3334)\times(0.5000)+1 = 1.1667$	$16\,497 \times 0.3333 \times 1.1667 = 6\,414$
0.60	0.4000	$(0.2667)\times(0.4667)+1 = 1.1244$	$16\,497 \times 0.4000 \times 1.1244 = 7\,422$
0.70	0.4667	$(0.2000)\times(0.4334)+1 = 1.0867$	$16\,497 \times 0.4667 \times 1.0867 = 8\,364$
0.80	0.5333	$(0.1334)\times(0.4000)+1 = 1.0533$	$16\,497 \times 0.5333 \times 1.0533 = 9\,272$
0.90	0.6000	$(0.0667)\times(0.3667)+1 = 1.0244$	$16\,497 \times 0.6000 \times 1.0244 = 10\,144$
1.00	0.6667	$(0.0000)\times(0.3333)+1 = 1.0000$	$16\,497 \times 0.6667 \times 1.0000 = 10\,998$

该数据可直接导入 Excel 或 MATLAB 绘制 $$F-s$$ 曲线。曲线特征：初始刚度较低，随压缩量增加力缓慢上升，接近展平前刚度略有减小。

5. 绘图与设计应用

弹性工作区推荐： $s = 0.15\sim0.75h_0$ （本例 0.15～0.75 mm），对应力值约 2 000～9 000 N，此段刚度变化平缓。
展平力安全校核：最大工作预紧力 $F_{Mmax} \le F_{flat}/1.3$ （约 8 460 N），按本例，则预紧力应 ≤ 8 460 N。查表可知对应的 $s \approx 0.72\ \text{mm}$ ，满足 ≤ 0.75h₀。
刚度提取：在工作点附近取值，求割线刚度 $k_W \approx \Delta F/\Delta s$ ，用于 VDI 2230 柔度计算。

6. 参数化生成建议

实际使用中，可编制小程序，输入 $$D_e, D_i, t, h_0$$ ，自动计算 $$K_1$$ 和 $$C_F$$ ，然后按任意步长输出 $$s-F$$ 数据表。注意： - 当 $$s>h_0$$ 时，垫圈已压平，公式不再适用，力将急剧上升（趋于实体压缩）。 - 对于带齿 DIN 6796 变体（非标准），需乘以修正系数。

结论：
利用 Almen‑Laszlo 公式可以生成 DIN 6796 垫圈从自由至展平的完整力‑挠度扫描数据，为连接设计提供精确的弹性特性曲线。本文提供的示例数据表可直接用于标定和选型，避免了反复查找图表。

E=206\,000

\nu=0.3

力-挠度曲线数据

公式表达式

参数列表

需要计算该公式？

详细计算指南