符号	名称	单位
De	外径 Dₑ	mm
Di	内径 Dᵢ	mm
h0	锥高 h₀	mm
material	材料	—
s	挠度 s	mm
t	厚度 t	mm

DIN 6796 von Mises 等效应力：多轴塑性屈服判定

1. 应用背景

DIN 6796 碟形垫圈在工作时截面处于多轴应力状态，尤其在内缘（OM、uM 点），同时存在径向应力、切向应力和剪应力。虽然压应力区的失效常由经验许用压应力控制，但对于拉应力区（如 uM 点）以及需要精确评估塑性安全裕度的场合，必须采用 von Mises 屈服准则，将多轴应力折算为单向等效应力，再与材料拉伸屈服强度 $R_{p0.2}$ 比较。

2. von Mises 等效应力公式

对于已知主应力 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 的一般情况：

\sigma_v = \sqrt{\frac{1}{2}\left[ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 \right]}

在碟形垫圈中，大部分区域可近似为平面应力状态（厚度方向应力 $\sigma_z \approx 0$ ），且通常将径向应力 $\sigma_r$ 、切向应力 $\sigma_t$ 作为主应力，剪应力 $\tau_{rz}$ 另行叠加。

实用中，若三个主应力方向明确，可按下式计算：

\boxed{\sigma_v = \sqrt{\sigma_r^2 + \sigma_t^2 - \sigma_r \sigma_t + 3\tau_{rz}^2}}

对于垫圈内外缘自由表面，剪应力 $\tau_{rz}=0$ ，切向应力 $\sigma_t$ 也因边缘条件而异。因此，各特征点的等效应力可简化。

3. 各应力分量的理论计算

基于 Almen‑Laszlo 理论 的扩展，碟形垫圈截面内的应力分量可由下述公式近似（适用于光滑锥面无齿）：

公共参数：

c = \frac{D_e}{D_i},\quad K_1 = \frac{1}{\pi}\frac{[(c-1)/c]^2}{(c+1)/(c-1) - 2/\ln c}

\delta = \frac{s}{t},\quad \eta = \frac{h_0}{t},\quad C_\sigma = \frac{4E}{1-\nu^2}\frac{t^2}{K_1 D_e^2}

C_1 = \frac{c-1}{\ln c} - 1,\quad C_2 = \frac{c-1}{2\ln c}

3.1 内缘各点（OM / uM）

在内径边缘（ $$r = D_i/2$$ ）： - 径向应力：上表面 OM 为 $\sigma_{OM}$ ，下表面 uM 为 $\sigma_{uM}$ （公式见前章） - 切向应力：因边缘自由， $\sigma_t = 0$ - 剪应力：边缘处 $\tau_{rz} = 0$ （自由表面）

因此，内缘点的应力状态为单向应力，等效应力直接等于径向应力的绝对值：

\sigma_{v,OM} = |\sigma_{OM}|,\qquad \sigma_{v,uM} = |\sigma_{uM}|

3.2 外缘各点（OU / uU）

在外径边缘（ $$r = D_e/2$$ ）： - 径向应力：上表面 OU 为 $\sigma_{OU}$ ，下表面 uU 为 $\sigma_{uU}$ - 切向应力：同样 $\sigma_t = 0$ - 剪应力： $\tau = 0$

故外缘点也处于单向应力，等效应力即为径向应力绝对值。因此，传统五特征点应力直接就是主应力，等效应力等于其绝对值。这正是碟形垫圈应力校核常直接用 $\sigma_{OM}$ 、 $\sigma_{uM}$ 等的原因。

3.3 截面内部点（若需校核）

若需校核非边缘点，则需计入切向应力。在任意半径 $$r$$ 处，切向应力可由下式近似：

\sigma_t(r) = \frac{E}{1-\nu^2} \cdot \frac{y}{r} \left( \frac{d\phi}{dr} - \frac{\phi}{r} \right)

但对于常规尺寸垫圈，内部点应力绝对值总小于内缘，通常无需校核。

4. 塑性屈服判据

对于拉应力控制点（如 uM 点当 $\sigma_{uM} > 0$ 时），采用：

\sigma_{v,uM} = \sigma_{uM} \le 0.9 \cdot R_{p0.2}

若 uM 点受压，则按压应力许用值评估，不强制使用 von Mises。

对于压应力控制点（OM 点），虽然为单向压应力，但由于三向压应力背景，材料抗压能力远高于拉伸屈服，直接用 $0.9R_{p0.2}$ 过于保守。DIN 2093 允许按压应力许用值 $\sigma_{zul,c} \approx (1.4\sim1.6)R_{p0.2}$ 判定。此时不需折算等效应力，直接比较 $|\sigma_{OM}| \le \sigma_{zul,c}$ 。

5. 计算示例

仍用 M10 用 DIN 6796 垫圈： $$c=1.961$$ , $$K_1=0.6947$$ , $$C_1=0.427$$ , $$C_2=0.7135$$ , $C_\sigma=7332$ MPa， $R_{p0.2}=1500$ MPa。

取工作压缩量 $$s=0.6$$ mm， $\delta=0.4$ 。

OM 点： $\sigma_{OM} = -7332 \times 0.4 \times [0.427(0.6667-0.2) + 0.7135] = -7332 \times 0.4 \times [0.199 + 0.7135] = -7332 \times 0.4 \times 0.9125 \approx -2676\ \text{MPa}$

为压应力，等效应力即 2676 MPa。与许用压应力 2200~2400 MPa 对比，略偏高，需减小压缩量。

uM 点： $\sigma_{uM} = 7332 \times 0.4 \times [0.427\times 0.4667 - 0.7135] = 7332 \times 0.4 \times [0.199 - 0.7135] = 7332 \times 0.4 \times (-0.5145) \approx -1509\ \text{MPa}$

为压应力，不必用拉伸屈服校核，可按压应力许用评估。

若存在拉应力状态（例如 $\eta$ 较大或压缩量小时 uM 为正），则计算等效应力后与 $0.9\times1500=1350$ MPa 比较。

6. DIN 6796 低锥度的优势

低 $$h_0/t$$ 使弯曲应力分量减小，因此： - uM 点不易出现高拉应力，大多数工况下 uM 受压或拉应力水平极低，无需担心拉伸屈服。 - OM 点压应力绝对值虽仍较高，但远低于同尺寸高碟簧，允许更大变形。 - 等效应力校核在 DIN 6796 垫圈中常可简化为对 OM 点压应力的控制，大大简化设计流程。

7. 设计步骤小结

根据预紧力确定最大压缩量 $s_{max}$ 。
计算五个特征点径向应力。
拉应力点（通常仅 uM 可能）：若 $\sigma > 0$ ，则 $\sigma_v = \sigma$ ，要求 $\sigma_v \le 0.9R_{p0.2}$ 。
压应力点（OM 等）：直接使用压应力许用值 $\sigma_{zul,c}$ 校核。
若需更严格的多轴评估，可对内部高应力点额外计算 $\sigma_t$ 和 $\tau$ 进行 von Mises 叠加，但常规设计不必。

结论：
DIN 6796 垫圈的 von Mises 等效应力在校核拉应力引起的塑性屈服时至关重要。由于边缘点的单向应力特性，等效应力等于该点径向应力绝对值，判断条件简化为应力与材料许用值的直接比较。低锥度设计则使拉应力区风险降至最低，提高了垫圈的弹性安全域。

von Mises 等效应力

公式表达式

参数列表

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