符号	名称	单位
material	材料	—
nominal_dia	规格	—
s	挠度 s	mm

DIN 9250 弹簧力‑挠度特性：碟形弹性+齿截面折减

1. 垫圈特征

DIN 9250 规定的齿面锁紧垫圈通常呈碟形（锥形）弹性体，并在单面或双面加工有径向细齿。它同时具备： - 弹性补偿能力：依靠碟形几何提供弹力，补偿预紧力松弛； - 机械防松能力：齿咬入配合面，增大抗滑力矩。

由于齿槽的存在，垫圈截面的弯曲刚度低于同尺寸光滑碟簧，其力‑挠度关系需在经典 Almen‑Laszlo 方程基础上引入齿截面折减因子 $β_{serr}$ 进行修正。

2. 光滑碟形弹簧基础公式（Almen‑Laszlo）

无齿光滑锥形垫圈的轴向力 $F_{Almen}(s)$ 为：

F_{Almen}(s) = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^4}{K_1 D_e^2} \cdot \frac{s}{t} \left[ \left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{t} \right)\left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{2t} \right) + 1 \right]

式中： - $$E$$ — 材料弹性模量 - $\nu$ — 泊松比 - $$t$$ — 垫圈厚度 - $$h_0$$ — 自由锥高 - $$D_e$$ — 外径 - $$K_1$$ — 形状系数，仅取决于外内径比 $$c = D_e/D_i$$

3. 齿截面折减因子 $β_{serr}$

齿槽切去了部分截面，使垫圈的弯曲刚度降低，表现为同样压缩量下的轴向力低于光滑垫圈。引入折减因子：

\boxed{F_{serr}(s) = β_{serr} \cdot F_{Almen}(s)}

$β_{serr} \le 1$ ，无量纲
当无齿（光滑）时， $β_{serr}=1$

$β_{serr}$ 的物理意义：它综合反映了齿数、齿宽、齿深对截面惯性矩的削弱程度。齿越密、越深， $β_{serr}$ 越小，垫圈越“软”。

4. $β_{serr}$ 的确定方法

4.1 基于截面惯性矩的理论估算

若将垫圈径向截面视为矩形梁，齿槽处截面惯性矩 $I_{net}$ 与无齿处 $I_{gross}$ 之比可近似作为折减因子：

β_{serr} \approx \frac{I_{net}}{I_{gross}} = \left(1 - \frac{z \cdot b_{tooth}}{\pi D_m} \cdot \frac{d}{t}\right)^3 \quad \text{或类似形式}

但该几何简化误差较大，工程中多以经验数据为准。

4.2 经验取值（DIN 9250 常见齿形）

齿形特征	$β_{serr}$ 参考范围
细齿、齿深浅 ( $$<0.15t$$ )	0.85 – 0.95
标准齿形 (DIN 9250 典型)	0.75 – 0.85
粗齿、齿深深 ( $$>0.25t$$ )	0.65 – 0.75

设计建议：若无法实测，初步设计可取 $β_{serr}=0.80$ ，并在样品阶段通过压缩试验修正。

5. 力‑挠度曲线特征

引入 $β_{serr}$ 后，垫圈力‑挠度曲线的整体形状不变（仍为碟形弹簧特征），但纵坐标按比例缩小。这意味着： - 展平力降低： $F_{flat,serr} = β_{serr} \cdot F_{flat,Almen}$ - 刚度降低： $k_{serr} = β_{serr} \cdot k_{Almen}$ - 储能减少：相同压缩量下吸收的弹性能减少

由于齿的机械咬合作用，垫圈的实际工作点通常位于力‑挠度曲线的上升段，刚度较低有利于补偿沉降，但必须确保展平力仍大于最大工作预紧力。

6. 计算示例

已知 DIN 9250 垫圈 (M10 用)： - $$D_e = 20$$ mm, $$D_i = 10.2$$ mm → $$c=1.961$$ , $K_1 \approx 0.6947$ - $$t = 1.5$$ mm, $$h_0 = 1.0$$ mm - 材料钢， $E=206\,000$ MPa, $\nu=0.3$ - 齿形导致 $β_{serr}=0.80$

光滑垫圈展平力 (前已算)：

F_{flat,Almen} \approx 11\,000\ \text{N}

齿面垫圈展平力：

F_{flat,serr} = 0.80 \times 11\,000 = 8\,800\ \text{N}

任意压缩量下的力：以 $$s=0.5$$ mm 为例，光滑垫圈力约 $6\,420$ N，则齿面垫圈力为 $0.80 \times 6\,420 \approx 5\,136$ N。

设计注意：由于展平力下降，该垫圈的许用预紧力上限同步降低，必须确保 $F_{Mmax} \le F_{flat,serr} / 1.3$ 。

7. 与设计系统的衔接

VDI 2230 柔度计算：垫圈柔度 $\delta_W = 1/k_{serr}$ ，因刚度减小，柔度增大，系统总柔度提高，有利于减少嵌入预紧力损失。
扭矩系数 K：齿面摩擦效应需另外用 $k_{serr}$ 修正 $\mu_K$ ，见 DIN 9250 扭矩‑预紧力关系章节。
应力校核：OM 点等应力计算时，若齿槽位于应力最大处（内缘），还需额外考虑缺口应力集中系数，可与 $β_{serr}$ 联合评估，但一般不直接用于应力计算。

总结：
DIN 9250 齿面锥形垫圈的力‑挠度特性以 Almen‑Laszlo 光滑碟簧方程为基础，乘以齿截面折减因子 $β_{serr}$ 实现。 $β_{serr}$ 量化了齿槽对刚度的削弱，是垫圈选型和预紧力匹配的重要修正参数。实际应用中应优先通过压缩试验获取准确的力‑挠度曲线。

弹簧力-挠度特性

公式表达式

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