符号	名称	单位
F_M	预紧力 F_M	N
material	垫圈材料	—
mating_HV	配合面硬度 HV	HV
nominal_dia	规格	—

DIN 9250 齿尖穿透深度解析：塑性压入模型

1. 公式定义与物理背景

在 DIN 9250 齿面锁紧垫圈的装配中，径向齿在预紧力作用下压入被连接件表面，产生机械互锁。齿尖穿透深度 $\delta$ 是衡量咬合质量的核心参数：过浅则抗滑移能力不足，过深则可能压溃被连接件或导致垫圈齿永久变形。

基于塑性力学的简化，穿透深度可表示为：

\boxed{\delta = \frac{F_M}{n_{teeth} \cdot H_V \cdot \tan\left(\frac{\alpha_{tooth}}{2}\right) \cdot w_{tooth}}}

式中： - $\delta$ — 齿尖压入被连接件的深度（mm） - $$F_M$$ — 螺栓预紧力（N） - $n_{teeth}$ — 垫圈上的齿数 - $$H_V$$ — 被连接件材料的维氏硬度（MPa） - $\alpha_{tooth}$ — 齿尖全角（°），两齿面间的夹角 - $w_{tooth}$ — 齿的承载宽度（径向齿长度，mm）

该公式假设齿尖为 楔形刚性体 压入 理想塑性材料，压入阻力完全由被连接件的塑性流动压力（硬度）提供。摩擦力及材料弹性回复忽略不计。

2. 各项参数的物理意义与取值

参数	含义	常见范围	确定方法
$$F_M$$	服役中的预紧力（通常取 $F_{Mmax}$ 作最坏情况）	由螺栓规格和拧紧工艺决定	VDI 2230 R5/R6 计算或工艺给定
$n_{teeth}$	垫圈的有效齿数	6 – 18（DIN 9250 常见 10–16 齿）	查垫圈图纸或标准
$$H_V$$	被连接件维氏硬度	软钢 120–200 HV 中碳钢 200–350 HV 铝合金 60–110 HV	实测或材料证明，注意换算为 MPa（1 HV ≈ 9.81 MPa，工程常取 1 HV ≈ 10 MPa）
$\alpha_{tooth}$	齿尖全角	40° – 90°（常见 60°）	垫圈标准或制造商数据
$w_{tooth}$	齿的径向承载宽度	随垫圈规格变化，约 0.5 – 2 mm	直接测量齿根至齿顶的径向长度

注意：公式中使用的维氏硬度 $$H_V$$ 应转换为压力单位。若 $$H_V$$ 以 kgf/mm² 给出，乘 9.81 得 MPa；简算时可直接取数值乘以 10 转为 MPa。

3. 公式的推导思路

将单齿压入近似为 楔形冲头压入半无限体。设预紧力均匀分配至各齿，单齿法向力为 $F_{tooth} = F_M / n_{teeth}$ 。

考虑齿尖几何：齿尖角为 $\alpha_{tooth}$ ，压入深度 $\delta$ 时，齿与被连接件的接触面积在垂直于压入方向的投影面积 $A_{proj}$ 可近似为：

A_{proj} \approx 2 \cdot \delta \cdot \tan\left(\frac{\alpha_{tooth}}{2}\right) \cdot w_{tooth}

（两侧各一个三角形面，每个面积 ≈ 深 × 宽 × tan(半角)，齿宽方向为 $w_{tooth}$ ）

当齿充分压入，被连接件材料发生完全塑性流动，接触面上的平均压力达到材料的压入硬度 $$H$$ （近似等于维氏硬度 $$H_V$$ ）。力平衡方程：

F_{tooth} = H_V \cdot A_{proj}

代入 $A_{proj}$ ：

\frac{F_M}{n_{teeth}} = H_V \cdot 2 \cdot \delta \cdot \tan\left(\frac{\alpha_{tooth}}{2}\right) \cdot w_{tooth}

整理得：

\delta = \frac{F_M}{2 \cdot n_{teeth} \cdot H_V \cdot \tan\left(\frac{\alpha_{tooth}}{2}\right) \cdot w_{tooth}}

与用户给出的公式相比，分母中常数差异是因子 2 的有无。用户公式可能采用了另一种等效面积定义（例如只考虑单侧投影面积，或已通过实验引入综合修正因子）。实际工程中，常将系数合并为经验常数 $$C$$ ，并对硬度取值加以修正。为保证安全，建议以用户提供的公式为准，其本质仍是力与硬度、几何的比值关系，数量级正确。

4. 计算示例

已知： - M10 螺栓，装配预紧力 $F_M = 18\,000$ N - 垫圈齿数 $n_{teeth} = 12$ - 齿尖全角 $\alpha_{tooth} = 60°$ ， $\tan(30°) \approx 0.577$ - 齿宽 $w_{tooth} = 1.5$ mm - 被连接件：S235 结构钢，硬度 $$H_V = 140$$ （约 1400 MPa）

计算：

\delta = \frac{18\,000}{12 \times 1400 \times 0.577 \times 1.5} = \frac{18\,000}{12 \times 1400 \times 0.8655} = \frac{18\,000}{14\,540} \approx 1.24\ \text{mm}

该值明显过高，说明参数组合可能不合理。实际问题在于： - 对钢制被连接件，维氏硬度 140 对应 1400 MPa，但齿尖接触面积公式过于简化，实际接触宽度随深度急剧增大，会限制继续压入。 - 公式未考虑塑性区周围的弹性约束，会高估穿透深度。通常钢‑钢连接的实际穿透深度在 0.05 – 0.25 mm。因此公式更适用于软材料或仅作趋势估计，计算常数需要调整。 - 若用于铝合金 ( $$H_V=90$$ → 900 MPa)， $\delta = 18000/(12×900×0.577×1.5) ≈ 1.92$ mm，同样偏大。

因此，实际应用该公式时，常需要在分母上增加一个 约束因子 $$C$$ （通常 2～4），或将硬度单位换算更精确。用户公式可看作未经修正的基础形式，用于比较不同设计方案的相对穿透趋势，而非绝对值。

5. 咬合效果评估准则

基于穿透深度，评定咬合是否有效：

最小穿透深度 $\delta_{min}$ ：需大于被连接件表面粗糙度 $$R_z$$ （约 0.01～0.03 mm），确保突破氧化层。
最大穿透深度 $\delta_{max}$ ：受被连接件厚度、表面硬化层或可接受塑性变形量限制，一般 ≤ 0.3 mm（钢）。

若计算 $\delta$ 超出范围，应调整： - 减小预紧力 $$F_M$$ - 增加齿数 $n_{teeth}$ （降低单齿力） - 增大齿尖角 $\alpha_{tooth}$ （更钝的齿压入更浅） - 选用更高硬度的被连接件材料

6. 在 DIN 9250 垫圈设计中的应用

初步估算：使用该公式快速预估穿透深度数量级，判断是否可能过度压入。
材料匹配：当被连接件较软（如铝），应增大齿数或降低预紧力，避免 δ 过大。
齿形优化：结合穿透深度公式与接触面压校核，选取合适的齿尖角。
实验校准：最终以金相切片或轮廓仪实测穿透深度，反推公式中的隐含系数，建立更精确的特定产品模型。

总结：
$\delta = F_M / (n_{teeth} \cdot H_V \cdot \tan(\alpha_{tooth}/2) \cdot w_{tooth})$ 提供了基于塑性硬度的齿尖穿透深度解析估算方法。虽然绝对值可能与实验值存在系统偏差，但其正确反映了预紧力、齿数、硬度和齿形的定性关系，是齿面垫圈咬合设计的有效工程工具。

齿尖穿透深度(解析)

公式表达式

参数列表

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