符号	名称	单位
F_M	预紧力 F_M	N
bolt_grade	螺栓等级	—
mu_bite	咬入摩擦 μ_bite	—
mu_flat	平面摩擦 μ_flat	—
nominal_dia	规格	—

DIN 9250 防松力矩计算：齿咬合 + 平面摩擦模型

1. 公式定义与防松机理

DIN 9250 齿面锁紧垫圈抵抗螺栓在振动下松脱的能力可用防松力矩 $M_{lock}$ 定量描述。当螺栓受到旋转松脱的外力时，垫圈与被连接件及螺栓头/螺母之间产生两个阻力矩分量：

齿尖咬合机械锁紧力矩：齿尖嵌入配合面，形成“微形楔”，需克服剪切/犁沟力才能旋转。
平面摩擦滑移力矩：垫圈非齿部分（齿间平面或垫圈背面）仍依赖常规摩擦。

两者并联作用，总防松力矩公式为：

\boxed{M_{lock} = F_M \cdot \frac{r_{tooth} \cdot \mu_{bite} + r_{flat} \cdot \mu_{flat}}{2}}

式中： - $M_{lock}$ — 垫圈提供的防松力矩（N·mm） - $$F_M$$ — 当前预紧力（N），通常取最小剩余预紧力以保守评估 - $r_{tooth}$ — 齿尖咬合作用的等效直径（mm） - $\mu_{bite}$ — 齿尖咬合的等效摩擦系数（无量纲），综合机械互锁与局部摩擦 - $r_{flat}$ — 平面摩擦部分的等效直径（mm） - $\mu_{flat}$ — 平面部分（无齿区域）的摩擦系数，与光滑表面相同

公式含义：将两个摩擦源的阻力矩叠加，每个阻力矩 = 力 × 摩擦系数 × 半径。由于 $$r$$ 定义为直径，需除以 2 转化为半径；若 $$r$$ 直接取为半径，则公式中无分母 2。工程上常用直径表达，故保留此形式。

2. 各参数详解

2.1 齿尖作用直径 $r_{tooth}$

齿尖只在垫圈的部分径向宽度范围内咬入配合面。 $r_{tooth}$ 代表所有齿尖接触区域的平均直径。可近似为齿顶环带的平均直径：

r_{tooth} \approx \frac{D_{tooth,o} + D_{tooth,i}}{2}

$D_{tooth,o}$ — 齿顶外径（通常等于或略小于垫圈外径）
$D_{tooth,i}$ — 齿顶内径（靠近垫圈内孔处齿的终止直径）

若缺乏详细几何数据，可保守取垫圈外内径算术平均值 $r_{tooth} \approx D_m = (D_e + D_i)/2$ 。

2.2 平面摩擦直径 $r_{flat}$

指垫圈上未被齿覆盖的平面环形区域（齿间谷底或垫圈背面）的等效接触直径。对于单面齿垫圈，另一面为光滑平面， $r_{flat}$ 可取垫圈环形面积的平均直径；若双面齿，则平面部分很小，该项可忽略。

常见处理：当无法区分时，可统一用 $D_{km} = (D_e + D_i)/2$ 代表总有效摩擦直径，但这样会混淆两部分。更精确方法：以齿面积占比 $A_{tooth}/A_{nom}$ 分配力臂。

2.3 齿尖等效摩擦系数 $\mu_{bite}$

\mu_{bite}

远高于常规摩擦系数，因为它包含了齿的犁沟、冷焊、剪切等机械阻力。实测表明，对于钢‑钢连接、标准齿形：

$\mu_{bite}$ 可达 0.5 – 1.0，远大于 $\mu_{flat}$ （0.1–0.2）。
它是齿数、齿形角、硬度匹配的函数，可由试验或经验公式估算。若无法获取，可取 $\mu_{bite} \approx 0.6 \sim 0.8$ 进行保守设计。

2.4 平面摩擦系数 $\mu_{flat}$

即为相同材料、相同表面处理下光滑平面的摩擦系数，典型值见下表：

表面状态	$\mu_{flat}$
干燥无油	0.18 – 0.25
磷化+轻油	0.10 – 0.15
达克罗涂层	0.10 – 0.16
良好润滑	0.08 – 0.14

3. 公式推导思路

防松力矩由各接触微区的切向力对螺栓轴线的矩积分而成。简化假设：

预紧力均匀作用于整个垫圈环形面积，分为齿区和非齿区。
齿区的切向抗力由 $\mu_{bite}$ 表征，作用力臂为 $r_{tooth}/2$ 。
非齿区的切向抗力由 $\mu_{flat}$ 表征，作用力臂为 $r_{flat}/2$ 。
两部分承载比例根据面积或接触压力分配。在简化公式中，直接采用分别与预紧力乘积的形式，隐含了载荷按比例分配到两个区域。

更严格的力矩式应为：

M_{lock} = F_M \left( \alpha_{tooth} \mu_{bite} \frac{r_{tooth}}{2} + (1-\alpha_{tooth}) \mu_{flat} \frac{r_{flat}}{2} \right)

其中 $\alpha_{tooth}$ 为齿区承载预紧力的比例。当忽略分配差异，将整体预紧力 $$F_M$$ 直接乘各自力臂时，便得到用户所给的两项和形式，该简化偏于保守（因为未考虑齿区只承担部分力）。

4. 计算示例

已知： - 螺栓 M10，预紧力 $F_M = 18\,000\ \text{N}$ - 齿面垫圈：外径 $$D_e = 20$$ mm，内径 $$D_i = 10.5$$ mm - 齿区外径 19 mm，内径 12 mm → $r_{tooth} = (19+12)/2 = 15.5$ mm - 平面部分直径：保守取整个垫圈平均直径 $r_{flat} = (20+10.5)/2 = 15.25$ mm - $\mu_{bite} = 0.7$ （钢‑钢标准齿） - $\mu_{flat} = 0.14$ （轻微油膜）

计算：

M_{lock} = 18\,000 \times \frac{15.5 \times 0.7 + 15.25 \times 0.14}{2}

= 18\,000 \times \frac{10.85 + 2.135}{2} = 18\,000 \times \frac{12.985}{2} = 18\,000 \times 6.4925 \approx 116\,865\ \text{N·mm} = 116.9\ \text{N·m}

对比：若为光滑垫圈（仅 $\mu_{flat}=0.14$ ， $r_{flat}=15.25$ mm），防松力矩为：

M_{lock,flat} = 18\,000 \times \frac{15.25 \times 0.14}{2} = 18\,000 \times 1.0675 = 19\,215\ \text{N·mm} = 19.2\ \text{N·m}

齿面垫圈防松力矩约增大 6 倍。

5. 防松安全系数校核

获得的 $M_{lock}$ 应与外部松脱力矩（如振动引起的螺纹回退力矩 $M_{thread\_backoff}$ ）比较，计算安全系数：

S_{lock} = \frac{M_{lock}}{M_{thread\_backoff}} \ge 1.5

若安全系数不足，可增大预紧力、增多齿数（提高 $\mu_{bite}$ ）或选用更大直径垫圈。

6. 影响因素与设计建议

齿形与齿数：尖锐齿、多齿 → $\mu_{bite}$ 高， $r_{tooth}$ 接近外径，防松力矩大。
材料硬度：被连接件硬度低 → 齿咬入深 → $\mu_{bite}$ 上升，但需校核表面压溃。
预紧力衰减： $$F_M$$ 取最小剩余预紧力，防松力矩随之下降。
重复使用：齿尖磨损 → $\mu_{bite}$ 降低，可能向 $\mu_{flat}$ 逼近。
温度：高温下材料软化 → 硬度下降 → 咬合减弱，但同时平面摩擦系数也可能变化。
涂层：软厚涂层（热浸锌）阻碍齿尖穿透， $\mu_{bite}$ 减小，应避免或通过试验确认。

总结：
DIN 9250 防松力矩公式 $M_{lock} = F_M (r_{tooth} \mu_{bite} + r_{flat} \mu_{flat}) / 2$ 将齿的机械锁紧与平面摩擦统一为线性叠加模型，通过齿区高摩擦系数显著提高防松抵抗力。设计时需结合几何参数与材料特性合理取值，并满足防松安全系数要求。

防松力矩

公式表达式

参数列表

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