公式表达式
参数列表
| 符号 | 名称 | 单位 |
|---|---|---|
| F_M | 预紧力 F_M | N |
| bolt_grade | 螺栓等级 | — |
| delta_amp_mm | 振幅 δ_amp | mm |
| nominal_dia | 规格 | — |
详细计算指南
DIN 9250 Junker 经验模型：残余预紧力与振动振幅
1. 公式定义与背景
在横向振动环境中（如 Junker 试验），DIN 9250 齿面锁紧垫圈的防松性能通常用残余预紧力比 $R_F$ 来评价，即振动一定周次后剩余的预紧力与初始预紧力之比。
经验发现，残余预紧力比与横向振幅 $\delta_{amp}$ 和垫圈齿的特征尺寸 $\delta_{tooth}$ 之间存在如下关系：
- $R_F = F_{res}/F_{init}$ — 残余预紧力比（0 ≤ $R_F$ ≤ 1，1 表示无损失）
- $\delta_{amp}$ — 横向振动振幅（通常为单幅值或峰-峰值，取决于定义）
- $\delta_{tooth}$ — 齿尖等效锁紧行程，代表齿的机械互锁能力（mm）
- $m$ — 与齿面等效摩擦系数 $\mu_{serr}$ 相关的指数
当 $\delta_{amp} \ll \delta_{tooth}$ 时，$R_F \approx 1$，预紧力几乎不衰减；当 $\delta_{amp}$ 接近或超过 $\delta_{tooth}$ 时，$R_F$ 急剧下降，连接可能松脱。
该模型将复杂的齿部微动磨损和滑移过程简化为一个幂函数衰减形式，适用于在方案阶段快速预估振幅对防松的影响。
2. 物理意义
2.1 齿特征尺寸 $\delta_{tooth}$
$\delta_{tooth}$可理解为齿尖能够阻止横向滑移的有效行程。它综合了以下因素： - 齿尖压入被连接件的穿透深度 $\delta$（由预紧力、硬度、齿形决定） - 齿的轮廓形状（尖角、齿高） - 材料弹性回复
当接合面的横向相对位移低于 $\delta_{tooth}$ 时，齿仍嵌在配合面内，阻止宏观滑动，预紧力损失极小。一旦横向位移超过该值，齿被迫从压痕中脱出或剪断，机械互锁失效，接合面开始滑移，预紧力快速丧失。
2.2 指数 $m$ 与摩擦系数 $\mu_{serr}$ 的关系
指数 $m$ 决定衰减曲线的陡峭程度。$\mu_{serr}$ 越大（齿面摩擦越强），通常意味着齿的锁紧作用越“脆”：当振幅较小时极其牢固，但一旦超越临界点，失效发生得更为突然。这表现在公式中就是 $m$ 随 $\mu_{serr}$ 增大而增大。
工程上，$m$ 与 $\mu_{serr}$ 的函数关系需通过试验拟合，常见形式有：
其中 $k_0, k_1, k_2$ 为经验常数。一般 $\mu_{serr}$ 在 0.2～0.5 时，$m$ 约在 0.5～3 之间。
3. 参数取值指南
| 参数 | 含义 | 推荐取值方法 | 典型值范围 |
|---|---|---|---|
| $\delta_{amp}$ | Junker 试验的横向振幅 | 标准试验：0.2～1.0 mm；实际工况根据连接位置预估 | 0.1 – 1.5 mm |
| $\delta_{tooth}$ | 齿有效锁紧行程 | 近似取齿尖穿透深度 $\delta$（解析或 FEM 计算） | 0.05 – 0.3 mm（钢‑钢） 0.1 – 0.4 mm（钢‑铝） |
| $m$ | 衰减指数 | 按 $\mu_{serr}$ 从试验曲线查得，或经验取 | 0.8 – 2.5 |
$\delta_{tooth}$ 的快速估算（基于穿透深度解析公式）：
再乘以一个几何系数（0.5～1.0）以转化为有效锁紧行程。
4. 模型应用与示例
4.1 预估残余预紧力
已知 Junker 试验振幅 $\delta_{amp} = 0.3$ mm，某垫圈的 $\delta_{tooth} = 0.15$ mm，$m = 1.5$：
结果为负值，按定义应取 $R_F = 0$，表示预紧力完全丧失，该垫圈在此振幅下不可用。
若振幅降至 0.1 mm：
仍有 45.6% 的残余预紧力，视要求可能满足。
4.2 确定防松安全振幅
要求最低允许残余预紧力比 $R_{F,req} = 0.8$，则允许的最大振幅为：
若 $m=2$，$\delta_{tooth}=0.2$ mm，则 $\delta_{amp,max} = 0.2 \times (0.2)^{0.5} = 0.2 \times 0.447 \approx 0.089$ mm，表明该垫圈仅适用于极小振幅。
5. 模型的局限与使用建议
- 经验性：该公式不是从第一性原理推导，而是基于大量 Junker 试验的曲线拟合。常数 $m$ 和 $\delta_{tooth}$ 必须通过针对具体垫圈‑被连接件组合的试验标定。
- 未考虑周次：公式直接给出最终残余比，未显含循环次数 $N$；实际上，残余预紧力衰减是一渐进过程，该式通常对应特定周次（如 1000 或 10^5 次）的稳态值。
- 齿形磨损：重复加载可能导致 $\delta_{tooth}$ 减小，$m$ 变化，该式仅适用于首次装配或未磨损状态。
- 用于对比分析：在设计阶段，可用此式快速比较不同齿形、不同材料匹配的振幅容限，指导垫圈选型。
总结：
DIN 9250 的 Junker 经验模型 $R_F = 1 - (\delta_{amp}/\delta_{tooth})^m$ 提供了振幅‑残余预紧力关系的实用预测工具。通过确定齿特征尺寸 $\delta_{tooth}$ 和指数 $m$（依赖于 $\mu_{serr}$），可快速评估垫圈在特定振动环境下的防松能力，为方案筛选和试验验证提供方向。