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F-9250-C002stress 已核验

垫圈体复合应力

σ_red = σ_OM × k_t ≤ R_p0.2 / S_F。k_t 查 _TOOTH_NOTCH_FACTOR。

公式表达式

参数列表

符号名称单位
F_M预紧力 F_MN
bolt_grade螺栓等级—
material垫圈材料—
nominal_dia规格—
safety_factor安全系数 S_F—

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详细计算指南

DIN 9250 垫圈体复合应力校核：齿根缺口系数法

1. 校核目的与适用对象

DIN 9250 齿面锁紧垫圈通常具有碟形弹性体，并在单面或双面带有径向细齿。在预紧力作用下，垫圈体承受弯曲和压缩复合应力，最大压应力仍出现在上表面内缘 OM 点。但由于齿槽的存在，该区域截面突然变化，产生严重的应力集中。为确保垫圈在装配和工作时不发生屈服或疲劳断裂，必须将 OM 点的名义应力乘以齿根缺口系数 $k_t$，得到实际峰值应力进行校核。

强度条件为：

$$\boxed{\sigma_{red} = \sigma_{OM} \cdot k_t \le \frac{R_{p0.2}}{S_F}}$$
  • $\sigma_{red}$ — 齿根处最大局部应力（MPa），此处视为单向压应力，等效应力即为其绝对值
  • $\sigma_{OM}$ — 按光滑碟形弹簧公式计算的 OM 点名义压应力（MPa），取绝对值
  • $k_t$ — 齿根应力集中系数（≥1），综合反映齿槽形状引起的应力升高
  • $R_{p0.2}$ — 垫圈材料 0.2% 条件屈服强度（MPa）
  • $S_F$ — 静强度安全系数，通常 ≥ 1.2

2. OM 点名义应力 $\sigma_{OM}$ 的计算

DIN 9250 垫圈的锥形弹性体服从 Almen‑Laszlo 碟形弹簧理论。对于光滑锥面无齿垫圈，OM 点压应力为（负值取绝对值）：

$$\sigma_{OM} = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^2}{K_1 D_e^2} \cdot \delta \left[ C_1\left( \eta - \frac{\delta}{2} \right) + C_2 \right]$$

式中参数含义与 DIN 6796 完全相同（参见相关章节）。计算时需用实际垫圈的几何尺寸 $D_e, D_i, t, h_0$，以及材料 $E, \nu$。

注意：此处计算的是不考虑齿槽削弱的光滑碟簧应力，因此 $\sigma_{OM}$ 是名义值。真实应力在齿根处更高。

3. 齿根缺口系数 $k_t$

$k_t$

是齿根处理论应力集中系数，定义为局部最大弹性应力与名义应力之比。它主要取决于：

  • 齿形参数：齿深、齿根圆角半径 $r$、齿距
  • 加载类型：弯曲正应力主导

由于 DIN 9250 齿形标准化，$k_t$ 通常由制造商或标准给定，记为 _TOOTH_NOTCH_FACTOR。在没有确切数据时，可参照以下经验范围：

齿形特征 $k_t$ 参考值
齿根圆角较大 ($r/t > 0.3$)，浅齿 1.2 – 1.5
标准齿形（DIN 9250 常见） 1.8 – 2.5
尖锐齿根、深齿 2.5 – 3.5

保守设计：若无法获取精确值，可取 $k_t = 2.5$ 进行初步校核，待试验验证后修正。

查询方法：_TOOTH_NOTCH_FACTOR 可能是设计表格中的变量名，可根据齿数、齿根圆角和齿高与厚度比值从标准中查得。推荐使用制造商提供的缺口系数。

4. 许用应力与安全系数

由于 OM 点处于三向压应力状态，材料的抗压能力高于拉伸屈服，但为统一保守计算，仍以拉伸屈服强度 $R_{p0.2}$ 作为基准，取安全系数 $S_F \ge 1.2$。对于高硬度弹簧钢（如 50CrV4，$R_{p0.2} \approx 1500\ \text{MPa}$），许用应力为：

$$\frac{R_{p0.2}}{S_F} = \frac{1500}{1.2} = 1250\ \text{MPa}$$

这似乎偏低，因为压应力许用值通常可达 $1.4R_{p0.2}$。但在齿根缺口处，应力状态复杂，且可能存在拉应力分量，因此 VDI 2230 和 DIN 9250 设计中通常采用拉伸屈服除以安全系数作为通用判据，偏于安全。如果垫圈材料有明确的压应力许用值，可单独规定。

对于动态载荷，还需校核疲劳强度（应力幅），此处暂不展开。

5. 完整校核流程

  1. 确定垫圈几何与材料：$D_e, D_i, t, h_0$，$E, R_{p0.2}$，齿形参数。
  2. 计算工作压缩量 $s$：由螺栓预紧力 $F_{Mmax}$ 反求，使用光滑垫圈的力‑挠度公式（或经齿截面折减后的公式，但应力计算中 OM 点仍用光滑公式，缺口系数另行计入）。
  3. 计算名义 OM 应力 $\sigma_{OM}$（取绝对值）。
  4. 确定 $k_t$：查询 _TOOTH_NOTCH_FACTOR 表或取推荐值。
  5. 计算局部应力：$\sigma_{red} = k_t \cdot |\sigma_{OM}|$。
  6. 校核：$\sigma_{red} \le R_{p0.2} / S_F$（$S_F \ge 1.2$）。
  7. 若不满足，降低预紧力或选择更厚、外径更大的垫圈，或增大齿根圆角以降低 $k_t$。

6. 计算示例

已知： - DIN 9250 垫圈 M10 用：$D_e = 20\ \text{mm}$，$D_i = 10.2\ \text{mm}$，$t = 1.5\ \text{mm}$，$h_0 = 1.0\ \text{mm}$ - 材料 50CrV4，$E=206\,000\ \text{MPa}$，$R_{p0.2}=1500\ \text{MPa}$ - 工作预紧力 $F_{Mmax}=12\,000\ \text{N}$，通过力‑挠度曲线反推压缩量 $s \approx 0.6\ \text{mm}$（$\delta=0.4$） - 光滑垫圈应力因子 $C_\sigma \approx 7332\ \text{MPa}$，$C_1=0.427$，$C_2=0.7135$，$\eta=0.6667$

名义 OM 应力（取绝对值）：

$$\sigma_{OM} = C_\sigma \cdot \delta \left[ C_1\left( \eta - \frac{\delta}{2} \right) + C_2 \right] = 7332 \times 0.4 \times [0.427 \times (0.6667-0.2) + 0.7135]$$
$$= 2932.8 \times [0.427 \times 0.4667 + 0.7135] \approx 2932.8 \times [0.1993 + 0.7135] \approx 2932.8 \times 0.9128 \approx 2677\ \text{MPa}$$

查取 $k_t$：标准齿形，取 $k_t = 2.2$。

局部应力：

$$\sigma_{red} = 2677 \times 2.2 \approx 5889\ \text{MPa}$$

许用应力：

$$\frac{1500}{1.2} = 1250\ \text{MPa}$$
$\sigma_{red} \gg 1250\ \text{MPa}$

，校核不通过！说明预紧力过高或该垫圈规格不适用。

调整：降低 $F_{Mmax}$ 至 8 000 N，相应 $s \approx 0.45\ \text{mm}$，$\sigma_{OM}$ 降至约 1800 MPa，则 $\sigma_{red}=1800 \times 2.2 = 3960\ \text{MPa}$，仍超标。这意味着仅靠降载难以满足，必须增大垫圈尺寸（如采用更厚垫圈、更大外径），或选用更高强度材料，或通过实际试验确认在压应力状态下许用值可提高（若局部压应力许可达 3000 MPa，而缺口系数实际较小，则可能通过）。本例凸显了齿根缺口系数对强度的显著影响，设计时务必重视。

7. 讨论与建议

  • 齿根优化：增大齿根圆角半径可有效降低 $k_t$，应在模具设计阶段考虑。
  • 实验验证：对关键垫圈，应通过应变片或光弹试验测定实际应力集中系数。
  • 多轴效应：齿根处可能存在拉应力分量，若垫圈承受反复载荷，疲劳校核更为关键，不可仅依赖静强度。
  • 保守策略：若无确切 $k_t$，取较大值并限制工作压缩量 $\le 0.5h_0$，以保留安全余量。

总结：
DIN 9250 垫圈体复合应力校核通过引入齿根缺口系数 $k_t$，将光滑碟形弹簧的 OM 点名义应力转换为实际峰值应力，并与材料许用应力比较。正确的 $k_t$ 选取是该垫圈强度设计的关键，必须结合标准或试验数据确定。