符号	名称	单位
De	外径 D_e	mm
Di	内径 D_i	mm
h0	锥高 h₀	mm
material	材料	—
s	挠度 s	mm
t	厚度 t	mm

DIN 2093 四点（OM, I, II, III）全应力计算

1. 特征点定义

碟形弹簧在轴向压缩时，截面上的应力分布不均匀。为了全面评估静强度和疲劳强度，DIN 2093 规定必须计算以下四个关键位置的应力（有时也称为五点，但通常为四点）：

点代号	全称	位置	应力符号	主要用途
OM	Oberseite Mitte	上表面内缘（内孔边缘）	压应力（负值）	静态强度，疲劳评估（最大压应力点）
I	Unterseite Außen	下表面外缘	拉应力（正值）	疲劳评估（最危险拉应力点）
II	Oberseite Außen	上表面外缘	拉或压应力	次要校核点
III	Unterseite Mitte	下表面内缘	压或拉应力	次要校核点

对于静态应用，主要控制 OM 点压应力不超过材料屈服极限；对于疲劳应用，OM 点的压应力幅和 I 点的拉应力幅都需校核。

2. 各点应力计算公式（Almen‑Laszlo 理论）

2.1 公共参数

外径 $$D_e$$ ，内径 $$D_i$$ ，厚度 $$t$$ ，自由锥高 $$h_0$$
弹性模量 $$E$$ ，泊松比 $\nu$
无量纲压缩量 $\delta = s/t$ ，无量纲锥高 $\eta = h_0/t$
外内径比 $$c = D_e/D_i$$

几何系数：

K_1 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\left(\dfrac{c-1}{c}\right)^2}{\dfrac{c+1}{c-1} - \dfrac{2}{\ln c}}

C_1 = \frac{c-1}{\ln c} - 1, \qquad C_2 = \frac{c-1}{2\ln c}

应力公共因子：

C_{\sigma} = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^2}{K_1 D_e^2}

2.2 OM 点应力（上内缘，压应力）

\boxed{\sigma_{OM} = -C_{\sigma} \cdot \delta \left[ C_1\left( \eta - \frac{\delta}{2} \right) + C_2 \right]}

负号表示压应力，校核时常取绝对值。
此为绝对值最大的应力，通常控制塑性变形与疲劳。

2.3 I 点应力（下外缘，拉应力）

\boxed{\sigma_{I} = C_{\sigma} \cdot \frac{\delta}{c} \left[ (C_1-1)\left( \eta - \frac{\delta}{2} \right) + C_2 \right]}

若结果为正值则为拉应力，是最关键的拉应力点；
若 $\eta$ 较小且变形不大时，该点可能为压应力，但多数碟簧在工作段表现为拉应力。

2.4 II 点应力（上外缘）

\boxed{\sigma_{II} = C_{\sigma} \cdot \frac{\delta}{c} \left[ (C_1-1)\left( \eta - \frac{\delta}{2} \right) - C_2 \right]}

该点应力绝对值通常较小，常为压应力或较小的拉应力。

2.5 III 点应力（下内缘）

\boxed{\sigma_{III} = -C_{\sigma} \cdot \delta \left[ C_1\left( \eta - \frac{\delta}{2} \right) - C_2 \right]}

该点与 OM 点类似，但中括号内第二项符号相反；常表现为压应力或较小的拉应力，视几何而定。

3. 强度评估准则

3.1 静态应用

OM 点压应力（绝对值）必须小于材料屈服极限 $R_{p0.2}$ 除以安全系数：
$|\sigma_{OM}| \le \frac{R_{p0.2}}{S_F}, \quad S_F \ge 1.2$
其他点若出现拉应力，也应按此准则校核。

3.2 疲劳应用

OM 点：计算压应力幅 $\sigma_{a,OM} = (|\sigma_{OM,max}| - |\sigma_{OM,min}|)/2$ ，与材料压疲劳极限比较。
I 点：若为拉应力，计算拉应力幅，并校核。I 点拉应力幅常是疲劳失效的主导因素之一。

4. 计算示例

碟簧规格（DIN 2093 系列 A，20×10.2×1.5）：

$D_e = 20\ \text{mm}, D_i = 10.2\ \text{mm} \Rightarrow c = 1.9608$
$t = 1.5\ \text{mm}, h_0 = 1.0\ \text{mm} \Rightarrow \eta = 0.6667$
材料弹簧钢， $E = 206\,000\ \text{MPa}, \nu = 0.3$

步骤1：计算常数

\ln c \approx 0.6733,\quad C_1 \approx 0.427,\quad C_2 \approx 0.7135,\quad K_1 \approx 0.6947

C_{\sigma} = \frac{4 \times 206000}{0.91} \times \frac{1.5^2}{0.6947 \times 20^2} \approx 905\,495 \times 0.008097 \approx 7\,332\ \text{MPa}

步骤2：取工作压缩量 $s = 0.6\ \text{mm}$ （ $\delta = 0.4$ ）

计算共用项：

\eta - \frac{\delta}{2} = 0.6667 - 0.2 = 0.4667

\text{OM 中括号} = C_1 \times 0.4667 + C_2 = 0.1993 + 0.7135 = 0.9128

\text{I 中括号} = (C_1-1) \times 0.4667 + C_2 = (-0.573) \times 0.4667 + 0.7135 = -0.2675 + 0.7135 = 0.4460

\text{II 中括号} = (C_1-1) \times 0.4667 - C_2 = -0.2675 - 0.7135 = -0.9810

\text{III 中括号} = C_1 \times 0.4667 - C_2 = 0.1993 - 0.7135 = -0.5142

步骤3：计算各点应力

$\sigma_{OM} = -7\,332 \times 0.4 \times 0.9128 \approx -2\,677\ \text{MPa}$
$\sigma_{I} = 7\,332 \times (0.4 / 1.9608) \times 0.4460 \approx 7\,332 \times 0.2041 \times 0.4460 \approx 667\ \text{MPa}$
$\sigma_{II} = 7\,332 \times 0.2041 \times (-0.9810) \approx -1\,467\ \text{MPa}$
$\sigma_{III} = 7\,332 \times 0.4 \times (-0.5142) \approx -1\,508\ \text{MPa}$

解读： - OM 点压应力最大（2 677 MPa），控制静态强度。 - I 点为拉应力（667 MPa），对疲劳有重要影响。 - II、III 点应力绝对值也较大，但相应位置失效风险略低，仍需校核。

5. 结论

利用上述四个公式，可以在任意压缩量下获得碟形弹簧四个关键点的完整应力状态。OM 点压应力和 I 点拉应力是设计和疲劳校核的重中之重，而 II、III 点用于全面把握截面应力分布，防止局部失效。根据应力计算结果，可合理选择碟簧规格、材料及表面处理，确保安全可靠。

5 点全应力

公式表达式

参数列表

需要计算该公式？

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