符号	名称	单位
De	外径	mm
Di	内径	mm
h0	锥高	mm
s_max	最大挠度	mm
s_min	最小挠度	mm
t	厚度	mm

DIN 2093 应力幅与平均应力：疲劳评估基础

1. 基本定义

碟形弹簧在循环载荷下工作时，危险点（通常为 OM 点）的应力在 最小工作挠度 $s_{min}$ 对应的应力 $\sigma_{min}$ 和 最大工作挠度 $s_{max}$ 对应的应力 $\sigma_{max}$ 之间周期变化。疲劳评估的两个基本参数为：

应力幅 $\sigma_a$ ：

\sigma_a = \frac{|\sigma_{max}| - |\sigma_{min}|}{2}

平均应力 $\sigma_m$ ：

\sigma_m = \frac{|\sigma_{max}| + |\sigma_{min}|}{2}

式中 $\sigma_{max}$ 和 $\sigma_{min}$ 均为 OM 点的径向应力计算值（压应力，通常为负值；为方便计算，疲劳分析中常取其绝对值）。

此外，应力比 $$R$$ 可辅助判断载荷类型：

R = \frac{\sigma_{min}}{\sigma_{max}} \quad (\text{代数值，保留负号})

脉动压缩循环： $$R = 0$$ （从零压应力到最大压应力）
对称循环： $$R = -1$$ （碟簧极少出现）

2. OM 点应力计算

OM 点（上表面内缘）的径向应力由 Almen‑Laszlo 理论给出：

\sigma_{OM}(s) = -\frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^2}{K_1 D_e^2} \cdot \frac{s}{t} \left[ C_1\left( \frac{h_0}{t} - \frac{s}{2t} \right) + C_2 \right]

其中： - $$E$$ — 弹性模量， $\nu$ — 泊松比 - $$t$$ — 厚度， $$h_0$$ — 自由锥高， $$D_e$$ — 外径 - $$K_1$$ — 形状系数， $$C_1, C_2$$ — 几何常数，均仅由外内径比 $$c = D_e/D_i$$ 决定（计算公式见前述 OM 点应力章节）

对于给定的挠度 $$s$$ ，可唯一确定 $\sigma_{OM}$ 。分别代入 $s_{min}$ 与 $s_{max}$ ，得到 $\sigma_{OM,min}$ 和 $\sigma_{OM,max}$ ，再按上述定义计算 $\sigma_a$ 和 $\sigma_m$ （均取绝对值）。

3. 疲劳校核准则（DIN 2093 方法）

DIN 2093 根据大量疲劳试验，给出了碟形弹簧的疲劳极限图（Haigh 图）。设计时需满足：

\sigma_a \le \sigma_{A,OM}(\sigma_m)

式中 $\sigma_{A,OM}(\sigma_m)$ 为在平均应力 $\sigma_m$ 下允许的最大应力幅，可从标准中的疲劳极限曲线查取。

对于常用的调质弹簧钢（如 50CrV4），DIN 2093 提供了一条简化的许用应力幅曲线，可拟合为：

\sigma_{A,OM} = \sigma_{A0} \cdot \left(1 - \frac{\sigma_m}{R_m}\right)

其中： - $\sigma_{A0}$ — 脉动疲劳极限（ $$R=0$$ 时的许用应力幅），对于喷丸处理的碟簧约为 600 ~ 800 MPa - $$R_m$$ — 材料抗拉强度（≈ 1500 ~ 1800 MPa）

安全系数：若考虑疲劳强度分散性，应引入疲劳安全系数 $S_D \ge 1.2$ ：

\sigma_a \le \frac{\sigma_{A,OM}}{S_D}

4. 计算示例

碟簧规格（DIN 2093 系列 A，20×10.2×1.5）： - $D_e = 20\ \text{mm}$ ， $D_i = 10.2\ \text{mm}$ ， $t = 1.5\ \text{mm}$ ， $h_0 = 1.0\ \text{mm}$ - 材料：50CrV4， $R_m \approx 1600\ \text{MPa}$ ，脉动疲劳极限 $\sigma_{A0} \approx 700\ \text{MPa}$

工作循环： - 最小挠度 $s_{min} = 0.2\ \text{mm}$ （ $\delta = 0.1333$ ） - 最大挠度 $s_{max} = 0.8\ \text{mm}$ （ $\delta = 0.5333$ ）

步骤1：计算对应应力

由 OM 应力公式（利用前文算得的 $C_\sigma \approx 7332\ \text{MPa}$ 和几何系数）： - $s_{min}=0.2$ ： $\sigma_{OM,min} \approx -1042\ \text{MPa}$ （绝对值 1042 MPa） - $s_{max}=0.8$ ： $\sigma_{OM,max} \approx -2926\ \text{MPa}$ （绝对值 2926 MPa）

步骤2：计算应力幅和平均应力

\sigma_a = \frac{2926 - 1042}{2} = 942\ \text{MPa}

\sigma_m = \frac{2926 + 1042}{2} = 1984\ \text{MPa}

步骤3：疲劳校核

由 Goodman 修正：

\sigma_{A,OM} = 700 \times \left(1 - \frac{1984}{1600}\right) = 700 \times (1 - 1.24) \ \text{→ 负值，不可用}

这表明该平均应力水平下材料已无法承受疲劳载荷，必须降低最大挠度或改变碟簧尺寸。

若调整工作循环至 $s_{min}=0.2\ \text{mm}$ ， $s_{max}=0.5\ \text{mm}$ ： - $\sigma_{OM,max} \approx 1896\ \text{MPa}$ ， $\sigma_{OM,min} = 1042\ \text{MPa}$ - $\sigma_a = (1896-1042)/2 = 427\ \text{MPa}$ ， $\sigma_m = 1469\ \text{MPa}$ - 许用应力幅 $\sigma_{A,OM} = 700 \times (1 - 1469/1600) \approx 57\ \text{MPa}$ ，仍远低于 427 MPa，说明该碟簧不适合在此平均应力水平下工作，需更换规格（如增大 $$t$$ 、降低 $$h_0/t$$ ）。

结论：碟形弹簧疲劳校核中，OM 点的平均应力往往很高，导致许用应力幅大幅缩减。设计时应优先控制最大挠度，使 $\sigma_m$ 不超过材料疲劳许用范围，或选用高疲劳极限的材料和表面强化措施。

总结：应力幅 $\sigma_a$ 和平均应力 $\sigma_m$ 由最小/最大工作挠度下的 OM 点应力计算而得，是进行疲劳评估的基础。DIN 2093 提供了基于 Goodman 关系的许用应力幅曲线，设计时必须确保 $\sigma_a \le \sigma_{A,OM}/S_D$ 。由于碟簧普遍存在高平均压应力，疲劳设计往往成为限制条件。

应力幅与平均应力

公式表达式

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详细计算指南

DIN 2093 应力幅与平均应力：疲劳评估基础

1. 基本定义

2. OM 点应力计算

3. 疲劳校核准则（DIN 2093 方法）

4. 计算示例