符号	名称	单位
De	外径	mm
Di	内径	mm
t	厚度	mm

DIN 2093 临界转速：旋转共振核算

1. 临界转速的定义

当碟形弹簧作为旋转零件（如随轴高速旋转的弹性支承）时，其固有振动频率与旋转频率或其整数倍重合，便会发生共振，导致剧烈振动甚至破坏。此时对应的转速称为临界转速 $n_{crit}$ 。

由于碟形弹簧的轴向固有频率通常在 1 kHz 以上，对应的临界转速极高（> 50 000 rpm），一般工业应用（< 10 000 rpm）通常不会达到，但对高速主轴、涡轮机、离心机等必须核算。

2. 临界转速基本计算公式

旋转机械中，最危险的共振发生在旋转频率（基频）与系统固有频率相等时。因此，临界转速可按下式估算：

\boxed{n_{crit} \approx 60 \cdot f_n \quad \text{(RPM)}}

式中： - $n_{crit}$ — 临界转速（转/分，rpm） - $$f_n$$ — 碟形弹簧（或组合）的轴向固有频率（Hz）

若存在较强的谐波激励（如不平衡力为 1×，叶片通过频率为 2×、3× 等），则临界转速也可能是 $n_{crit,k} = 60 \cdot f_n / k$ ，其中 $k = 1, 2, 3, \dots$ 。通常基频（ $$k = 1$$ ）共振最为严重。

3. 碟形弹簧固有频率的计算

单只碟簧的轴向固有频率已在“固有频率”章节详细给出：

f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_{eff}}}

$$k$$ — 碟簧在工作点（给定预压量）处的切线刚度（N/m），由 Almen‑Laszlo 公式求导得到：
$k = \frac{4E}{1-\nu^2} \cdot \frac{t^3}{K_1 D_e^2} \left[ \left( \frac{h_0}{t} \right)^2 + 1 - 3\frac{h_0}{t}\cdot\frac{s}{t} + \frac{3}{2}\left( \frac{s}{t} \right)^2 \right]$
$m_{eff}$ — 有效质量（kg），通常包含碟簧自身有效质量（约 1/3 碟簧质量）及外部附加质量。若仅为碟簧自身振动， $m_{eff} \approx \frac{1}{3} \rho V$ 。

对于多片组合： - 并联（同向叠放）：固有频率 $f_{n,stack} = f_{n,single}$ （不变）。 - 串联（对向叠放）：固有频率 $f_{n,stack} \approx f_{n,single} / i$ （ $$i$$ 为串联组数）。 - 混联：固有频率同串联规律，频率由串联组数 $$i$$ 主导。

4. 临界转速的快速判定

将固有频率代入基本式，得：

n_{crit} \approx 60 \cdot f_n

若 $f_n = 2\,000\ \text{Hz}$ → $n_{crit} \approx 120\,000\ \text{rpm}$
若 $f_n = 500\ \text{Hz}$ → $n_{crit} \approx 30\,000\ \text{rpm}$
若 $f_n = 200\ \text{Hz}$ → $n_{crit} \approx 12\,000\ \text{rpm}$

可见，只有当固有频率低于约 160 Hz 时，临界转速才会降到 10 000 rpm 以下。这对单片碟簧几乎不可能（单片 $$f_n$$ 通常 > 1 kHz），但大行程串联组合可能使固有频率大幅下降，必须警惕。

5. 计算示例

已知： - 单片碟簧： $D_e = 40\ \text{mm}$ ， $D_i = 20.4\ \text{mm}$ ， $t = 2.0\ \text{mm}$ ， $h_0 = 1.2\ \text{mm}$ - 工作预压 $s = 0.6\ \text{mm}$ ，计算得切线刚度 $k \approx 8.0\times10^6\ \text{N/m}$ - 有效质量（只计碟簧自身） $m_{eff} \approx 0.004\ \text{kg}$

固有频率：

f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{8.0\times10^6}{0.004}} \approx \frac{1}{2\pi}\sqrt{2\times10^9} \approx 7.1\ \text{kHz}

临界转速：

n_{crit} = 60 \times 7100 \approx 426\,000\ \text{rpm}

远高于常见机械转速，无需顾虑。

若采用 6 片串联（用于增大行程），组合固有频率降至 $7100 / 6 \approx 1\,183\ \text{Hz}$ ，临界转速约 71 000 rpm，仍高于绝大多数工业转速。但如果外部附加质量很大，固有频率可能降至几百 Hz，此时必须详细核算。

6. 离心力对临界转速的修正

高速旋转时，离心力会使碟簧产生径向扩张，略微改变其轴向刚度和应力分布。但离心力修正通常影响轴向力大小，对固有频率的影响为二次效应。在临界转速附近，由于共振振幅放大，离心力效应可能变得显著，精确计算需采用转子动力学分析（如考虑旋转软化、应力刚化）。对于工业常规高速（< 30 000 rpm），离心力对频率的修正可忽略，上述计算足以安全校核。

7. 设计准则

一般工业转速：只需保证 $f_n > 10 \cdot f_{exc}$ （避免共振），临界转速自然远高于工作转速，无需单独核算。
高转速应用（> 10 000 rpm）：
计算碟簧组在工作点的固有频率 $$f_n$$ 。
计算基频临界转速 $n_{crit} = 60 f_n$ 。
保证 $n_{crit}$ 与工作转速范围有足够的安全距离（通常要求避开工作转速的 ±20%）。
若临界转速落入工作转速区间，须改变碟簧规格、调整叠合方式或增加串联片数以降低频率（避开），或加强阻尼抑制共振。
组合碟簧：优先关注串联组数 $$i$$ 对频率的降低效应；并联不影响临界转速。

总结：碟形弹簧临界转速 $n_{crit} = 60 f_n$ ，因其高固有频率，通常远高于一般工业转速。设计高速旋转碟簧时，需核算组合后的固有频率并确保临界转速避开工作转速，以保证安全。

临界转速

公式表达式

参数列表

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