符号	名称	单位
De	外径	mm
Di	内径	mm
h0	锥高	mm
s	挠度	mm
t	厚度	mm

DIN 2093 几何非线性 FEA：大变形效应与 Newton‑Raphson 求解

1. 几何非线性的必要性

碟形弹簧在压缩量超过约 30% 自由锥高（ $$s/h_0 > 0.3$$ ）后，其力‑挠度关系明显偏离线性，表现出非线性刚度（硬化或软化）。这种非线性主要源于：

大变形效应：位移不再是微小的，应变‑位移关系中的高阶项不能忽略。
应力刚化：面内应力（膜应力）改变横向弯曲刚度，影响结构响应。
径向扩展：碟簧受压时内外径略微扩大，改变锥角和力臂。

因此，几何非线性 FEA 必须被激活，才能准确预测工作段（甚至接近压平）的载荷和应力。这在评估碟簧的储能、刚度、疲劳及与相邻零件的相互作用时至关重要。

2. 控制方程与求解方法

2.1 非线性平衡方程

几何非线性分析基于完全拉格朗日格式或更新拉格朗日格式，离散后的非线性静力平衡方程写为：

\boxed{\mathbf{R}(\mathbf{U}) = \mathbf{F}_{int}(\mathbf{U}) - \mathbf{F}_{ext} = \mathbf{0}}

$\mathbf{U}$ — 节点位移向量（未知量）；
$\mathbf{F}_{int}$ — 内部节点力向量，由当前构型的应力场积分得到，是 $\mathbf{U}$ 的非线性函数；
$\mathbf{F}_{ext}$ — 外部施加的节点载荷向量（可包括强制位移、力等）；
$\mathbf{R}$ — 残差力向量，收敛时其范数趋于零。

2.2 Newton‑Raphson 迭代格式

求解非线性方程组采用 Newton‑Raphson 法，基本思想是将方程线性化并迭代修正。第 $$n$$ 次迭代的修正方程为：

\boxed{\mathbf{K}_T^{(n)} \cdot \Delta \mathbf{U}^{(n)} = \mathbf{F}_{ext} - \mathbf{F}_{int}^{(n)}}

\mathbf{U}^{(n+1)} = \mathbf{U}^{(n)} + \Delta \mathbf{U}^{(n)}

其中： - $\mathbf{K}_T^{(n)}$ — 切线刚度矩阵，由当前位移状态 $\mathbf{U}^{(n)}$ 计算，包含弹性刚度、初始应力刚化和大变形几何效应； - $\Delta \mathbf{U}^{(n)}$ — 本次迭代的位移增量； - 等式右侧为当前的不平衡力（残差）。

迭代过程： 1. 给定初始位移 $\mathbf{U}^{(0)}$ （通常为零或上一个收敛步的解）。 2. 组装 $\mathbf{F}_{int}^{(n)}$ 和 $\mathbf{K}_T^{(n)}$ 。 3. 求解 $\Delta \mathbf{U}^{(n)}$ 。 4. 更新位移并检查收敛准则（如残差力范数、位移增量范数 ≤ 指定容差）。 5. 若未收敛，重复 2~4 步；若收敛，进入下一载荷增量步。

2.3 切线刚度矩阵的组成

在几何非线性框架下，切线刚度矩阵由三项叠加：

\mathbf{K}_T = \mathbf{K}_{E} + \mathbf{K}_{S} + \mathbf{K}_{G}

$\mathbf{K}_{E}$ — 常规小变形弹性刚度矩阵；
$\mathbf{K}_{S}$ — 初始应力刚度矩阵（应力刚化），取决于当前的膜应力状态；当碟簧内产生较大压应力时，该矩阵改变弯曲刚度；
$\mathbf{K}_{G}$ — 大变形几何刚度矩阵，来自应变‑位移关系中位移梯度的二次项，反映了刚体转动和伸长的影响。

每次 Newton‑Raphson 迭代都需用当前位移和应力更新这三部分，重新组装 $\mathbf{K}_T$ 并求解。这正是几何非线性分析计算量较大的原因。

3. 碟形弹簧的非线性特性与 FEA 设置

3.1 非线性显著的区域

$s/h_0 \le 0.3$ ：力‑挠度近似线性，线性 FEA 误差 < 5%。
$0.3 < s/h_0 \le 0.5$ ：中等非线性，刚度开始变化，几何非线性开关必须打开。
$$s/h_0 > 0.5$$ ：高度非线性，可能出现刚度急剧变化（扁平化或负刚度），线性分析完全失效。此区域 Newton‑Raphson 可能需采用弧长法（如 Riks 法）才能穿越极值点。

3.2 典型 FEA 设置

设置项	推荐选项
分析类型	Static, General（静力通用）
几何非线性	On（大变形效应）
求解器	直接稀疏求解器（如 Intel DSS）或迭代求解器
增量步控制	自动增量步，初始 0.01~0.05 倍总行程，最小 1e-5
收敛准则	位移/残差力，容差 1e-3 ~ 1e-4
弧长法	若预计出现局部失稳或负刚度，开启 Riks 分析
网格密度	同线性分析收敛性要求（厚度 ≥ 4 层，圆周 ≥ 48）

4. 线性与非线性 FEA 结果对比示例

碟簧： $D_e = 40\ \text{mm}, D_i = 20.4\ \text{mm}, t = 2.0\ \text{mm}, h_0 = 0.9\ \text{mm}$ 。
压缩至 $s = 0.65\ \text{mm}$ （ $s/h_0 \approx 0.72$ ），严重非线性。

分析方法	反力 $$F$$ (N)	OM 点应力 (MPa)	与解析解误差
Almen‑Laszlo 解析（全非线性）	7 420	2 310	—
线性 FEA	9 800	1 680	+32%（力），不可用
几何非线性 FEA	7 560	2 290	+1.9%（力），满足要求

线性 FEA 严重高估刚度（力偏大 32%），应力也因约束不同而失真；几何非线性 FEA 与解析解高度吻合，证明了大变形效应的主导作用。

5. 收敛困难与对策

在接近压平（ $s \rightarrow h_0$ ）或存在负刚度时，Newton‑Raphson 可能收敛困难。对策：

更小的增量步：自动时间步长并允许极小步长（如 1e-6）。
阻尼（稳定化）：引入人工阻尼或粘性正则化，防止迭代发散。
弧长法（Riks）：将载荷作为未知量一并求解，可稳定穿越软化段。
网格细化：避免因局部应力集中导致的收敛停滞。
检查接触/边界：无意的约束不足或过度约束会引发刚体位移或奇异。

6. 结论

碟形弹簧在 $$s/h_0 > 0.3$$ 后必须使用几何非线性 FEA，以正确捕捉大变形和应力刚化效应。
Newton‑Raphson 迭代通过反复更新切线刚度矩阵，逐步逼近非线性真实解。
正确的非线性 FEA 模型与 Almen‑Laszlo 解析解在全行程内高度一致（误差 < 2%），是评估碟簧极端工况和复杂组合的可靠手段。

几何非线性 FEA

公式表达式

参数列表

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