符号	名称	单位
De	外径	mm
Di	内径	mm
h0	锥高	mm
s	挠度	mm
t	厚度	mm
temp_C	温度	°C

DIN 2093 热力耦合 FEA：高温碟形弹簧的温度‑应力分析

1. 热力耦合分析的必要性

碟形弹簧在高温工况（通常 > 150 °C）下工作时，不仅材料的弹性模量和屈服强度会下降，还会产生显著的热应变和热应力。由于碟簧本身几何非线性和可能存在的接触，温度场不均匀或温度变化将导致：

热膨胀引起的预紧力改变：与螺栓和被连接件热膨胀差异共同作用，可能使实际预紧力偏离设计值。
热应力与机械应力叠加：影响 OM 点的压应力水平，进而改变疲劳寿命。
材料性能梯度：若碟簧截面存在温度梯度，各处的刚度与强度不同，受力状态复杂。

因此，仅靠等温机械分析已不足以准确评估高温碟簧的安全性和功能，需要借助热力耦合有限元分析，同时求解温度场和位移场，并计入材料性能随温度的变化。

2. 热力耦合控制方程

热力耦合问题在连续介质力学框架下由热传导方程和力平衡方程联立描述。

2.1 热传导方程（温度场）

对于各向同性固体，瞬态热传导方程为：

\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + \dot{q}_{vol}

$T = T(\mathbf{x}, t)$ — 温度场（K 或 °C）
$\rho$ — 密度（kg/m³）
$$c_p$$ — 比热容（J/(kg·K)）
$$k$$ — 热导率（W/(m·K)），对弹簧钢可取 40~50 W/(m·K)
$\dot{q}_{vol}$ — 体积热源（W/m³），如塑性功转化的热、摩擦热等（在碟簧分析中常忽略）

在稳态热分析中，温度不随时间变化，方程简化为：

\nabla \cdot (k \nabla T) = 0 \quad \text{或} \quad \nabla^2 T = 0 \;(\text{常物性})

边界条件可设为固定温度（Dirichlet）或对流/辐射（Neumann）。

2.2 力平衡方程（位移场）

考虑热膨胀效应的准静态力平衡方程为：

\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{b} = \mathbf{0}

$\boldsymbol{\sigma}$ — 柯西应力张量（MPa）
$\mathbf{b}$ — 体积力（N/mm³），通常仅重力，可忽略。

2.3 热弹性本构关系

在热力耦合分析中，总应变 $\boldsymbol{\varepsilon}$ 由弹性应变 $\boldsymbol{\varepsilon}^e$ 和热应变 $\boldsymbol{\varepsilon}^{th}$ 线性叠加：

\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}^e + \boldsymbol{\varepsilon}^{th}

其中：

\boldsymbol{\varepsilon}^{th} = \alpha(T) \cdot (T - T_{ref}) \cdot \mathbf{I}

$\alpha(T)$ — 瞬时热膨胀系数（1/K），对钢可取 11×10⁻⁶ ~ 13×10⁻⁶ /K，随温度略有变化
$T_{ref}$ — 参考温度（通常为装配时的室温，20 °C）
$\mathbf{I}$ — 二阶单位张量，表示热膨胀为各向同性体积变化

应力‑弹性应变关系仍遵循胡克定律，但弹性模量 $$E$$ 和泊松比 $\nu$ 均可能为温度的函数：

\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{D}(T) : \boldsymbol{\varepsilon}^e = \mathbf{D}(T) : \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\varepsilon}^{th} \right)

其中 $\mathbf{D}(T)$ 为依赖于温度的弹性矩阵。因此，温度场不仅产生热应变直接引起应力，还通过改变材料刚度间接影响应力分布。

3. 温度依赖性材料属性

进行热力耦合分析前，必须定义关键材料参数随温度的变化曲线或表格：

弹性模量 $$E(T)$$ ：随温度升高而下降，常用关系式 $E(T) = E_{20}[1 - \beta (T-20)]$ ， $\beta \approx 2.0\times10^{-4} \text{ K}^{-1}$ 对弹簧钢。
屈服强度 $R_{p0.2}(T)$ ：高温下降幅度更大，通常通过材料数据表获取。当应力超过屈服时，可进一步结合弹塑性分析。
热膨胀系数 $\alpha(T)$ ：对钢一般取常数，精密分析可考虑随温度微调。
热导率 $$k$$ 和 比热容 $$c_p$$ ：在仅进行稳态热分析时，只需 $$k$$ 求解温度场；瞬态热传导（如急冷急热）则需要 $$c_p$$ 和密度。

4. 热力耦合的有限元实现

在有限元框架下，热力耦合分为顺序耦合和全耦合两种方式。

4.1 顺序耦合（温度→应力）

先求解纯热传导问题，获得节点温度场 $\mathbf{T}$ 。
将温度场作为预定义场导入力学分析，计算热应变和温度相关的材料属性。
求解力学平衡方程得到位移、应变和应力。

该方法忽略力学变形对温度场的影响（即热弹性耦合效应极小，通常可忽略），计算效率高，适用于大部分稳态和缓慢瞬态问题。

4.2 全耦合（同时求解）

当变形产生显著的热量（如塑性功转化为热、摩擦热），或温度场与位移场强相互依赖时，需同时求解温度场和位移场。离散后的耦合方程组为：

\begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{uT} \\ \mathbf{K}_{Tu} & \mathbf{K}_{TT} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \Delta \mathbf{U} \\ \Delta \mathbf{T} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \mathbf{R}_u \\ \mathbf{R}_T \end{Bmatrix}

$\mathbf{K}_{uu}$ — 力学位移刚度矩阵（含热应力贡献）
$\mathbf{K}_{TT}$ — 热传导矩阵
$\mathbf{K}_{uT}, \mathbf{K}_{Tu}$ — 耦合项，反映温度变化对力的影响及变形对热传导的影响
$\mathbf{R}_u, \mathbf{R}_T$ — 力与热的残差向量

对碟簧，通常耦合项较小，可采用顺序耦合法。Newton‑Raphson 迭代仍需用于几何非线性。

5. 高温碟簧分析的特殊注意事项

松弛与蠕变：热力耦合弹性分析未考虑时间相关的松弛。长期高温下，蠕变会使预紧力持续下降，需额外耦合蠕变本构模型。
接触热阻：碟簧叠合时，片间接触并非理想热传导，存在接触热阻，会影响温度分布，尤其快速升温时。
边界条件：需准确设定碟簧与环境的热交换（对流系数、辐射），以得到正确的温度场。
安全系数：高温下材料强度下降，许用应力须按温度降额，同时热应力不应被忽略。

6. 计算示例（概念性）

某碟簧组工作于 200 °C 环境，由初始 20 °C 均匀升温。采用顺序耦合：

热分析：碟簧内外表面与 200 °C 流体接触，给定对流换热系数，计算稳态温度场（均匀 200 °C）。
力学分析：设置参考温度 $T_{ref}=20$ °C，整个碟簧温度升至 200 °C，材料弹性模量降至约 198 GPa，屈服强度降至约 1275 MPa（50CrV4）。碟簧压缩量 $$s = 0.6 h_0$$ ，计及热膨胀：若碟簧被约束在固定空间，将产生热压应力；若自由膨胀，则热应变不产生应力，但会改变碟簧锥高（自由状态 $$h_0$$ 略有变化），从而影响载荷。

结果：若碟簧在安装时处于预压状态，升温后由于碟簧和周边结构的热膨胀差异，预紧力可能增加或减少。分析必须将螺栓、被连接件等一并建模，才能准确预测。

7. 结论

热力耦合 FEA 是高温碟形弹簧设计不可或缺的工具。它通过联立热传导与力平衡方程，结合温度相关的材料数据，能够定量评估热膨胀、材料软化对应力、载荷和寿命的影响。在超过 150 °C 的工况下，忽略热效应将导致预紧力预测错误和强度评估失真，因此必须采用温度‑位移耦合分析，并按 DIN 2093 要求的温度降额系数进行最终校核。

热力耦合

公式表达式

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