符号	名称	单位
De	外径	mm
Di	内径	mm
h0	锥高	mm
s	挠度	mm
t	厚度	mm

DIN 2093 子模型法：局部精细应力分析

1. 子模型法的定义与目的

子模型法（Submodeling）是一种基于圣维南原理的有限元分析技术，用于在全局粗网格模型计算结果的基础上，对局部关键区域（如碟形弹簧的 OM 点、齿根、接触边缘等应力集中处）进行精细网格重新求解，从而以较低的计算成本获得高精度的局部应力分布。

其核心思想是：如果切割边界远离应力集中区足够远，则切割边界上的位移场主要由全局响应决定，局部细节（圆角、缺口等）对远端位移影响很小。因此，可以先用粗网格计算整体结构，然后将切割边界上的位移插值后作为边界条件施加到精细子模型上。

2. 基本流程与公式

子模型分析的步骤如下：

2.1 全局粗网格分析

建立包含整个碟形弹簧（或组合）的全局模型，使用相对稀疏的网格（但仍需满足基本收敛要求）。
施加工况载荷（如轴向压缩量 $$s$$ ）和边界条件。
进行线性或非线性静力分析，获得节点位移场 $\mathbf{U}^{coarse}$ 。

2.2 子模型切割与精细网格划分

从全局模型中切取出关注的局部区域（例如包含 OM 点的扇形体），切割边界应远离应力集中区至少 2~3 倍特征长度（特征长度可取厚度 $$t$$ 或局部几何尺寸）。
对该局部几何进行精细网格划分，厚度方向应 ≥ 4 层，并对应力集中处进行网格细化，以捕捉高梯度应力。

2.3 切割边界位移插值（核心计算公式）

精细子模型的边界条件通过形函数插值从全局粗网格解中获得。设全局模型中某点在切割边界上的位移为 $\mathbf{u}_G$ ，子模型对应边界点的位移为 $\mathbf{u}_{sub}$ ，则有：

\boxed{\mathbf{u}_{sub}(\mathbf{x}_i) = \sum_{j=1}^{m} N_j(\mathbf{x}_i) \cdot \mathbf{u}_G(\mathbf{X}_j)}

其中： - $\mathbf{x}_i$ — 子模型边界上节点 $$i$$ 的坐标； - $\mathbf{X}_j$ — 全局模型中节点 $$j$$ 的坐标； - $$N_j$$ — 全局单元的形函数，用于在切割边界上空间插值； - $$m$$ — 包含点 $\mathbf{x}_i$ 的全局单元节点数。

实际软件（如 Abaqus、ANSYS）会自动完成此插值：用户只需指定子模型边界，程序读取全局结果文件（.odb、.rst 等）并将对应位置的位移映射到子模型。

2.4 子模型求解

子模型作为一个独立的分析，施加由全局模型插值得到的位移边界条件，重新求解局部精细网格下的应力、应变场，得到高精度局部应力 $\boldsymbol{\sigma}^{fine}$ 。

子模型分析可以是线性的，也可以继承全局模型的材料非线性，但须注意切割边界上的位移应准确反映全局响应，因此全局分析应足够精确。

3. 在碟形弹簧中的应用

碟形弹簧的疲劳寿命通常由OM 点（上表面内缘）的应力控制。由于该点处于自由边缘并承受弯曲应力，全局粗网格可能因网格离散而低估峰值应力。采用子模型法：

全局模型：采用较粗网格（如厚度方向 2~3 层）对整个碟簧进行分析，得到位移场。
子模型：切出包含 OM 点和内径边缘的一个扇形区域（如 15°~30°），用极细网格（厚度 6~8 层，边缘加密）建模，切割边界取在远离内缘和外缘处（距边缘 ≥ 2 t）。
映射全局位移到子模型切割面，施加对称边界，求解得到准确的 OM 点压应力。

4. 子模型法的精度与效率

精度条件： - 切割边界足够远：一般取距离关注区 2~3 倍局部特征长度（对碟簧可取 3~5 倍厚度 $$t$$ ）。若切割边界离应力集中区过近，全局解在该处的误差会被带入子模型，降低精度。 - 全局网格不过于粗糙：全局网格虽然可以较粗，但仍需能合理反映整体刚度和位移趋势，尤其在切割边界附近网格不应过于扭曲。 - 子模型网格充分收敛：子模型内的网格必须满足收敛性要求，确保应力不再随加密变化。

效率提升： - 全局粗网格可节约 60%~80% 的计算时间（相对于全细网格模型）。 - 子模型仅对极小区域求解，额外计算成本很低。 - 可在同一全局模型基础上进行多个不同局部细节的子模型分析（如同时评估 OM 点、I 点、接触边缘）。

5. 示例简析

假设要对 M10 碟簧 OM 点进行精确应力分析。全局模型采用圆周 36 个单元、厚度 2 层（计算快）；子模型切取内径周围 30° 扇区，厚度 6 层，周向 24 单元（仅局部）。全局解得到 OM 点名义应力约 1 800 MPa，子模型精细解给出 2 050 MPa，差异约 12%，表明粗网格明显低估了应力。最终以子模型结果作为疲劳校核依据。

6. 注意事项

非线性问题：全局模型若为几何非线性，子模型应继承相同的非线性设置，因为切割边界上的位移可能对应大变形状态。
接触：若全局模型存在接触，子模型切割边界不应穿过接触区域，否则插值位移不连续。
热力耦合：子模型同样可继承温度场，进行热应力精细分析。
圣维南原理验证：可通过逐步扩大子模型区域，观察关注点应力是否收敛，以验证边界距离足够。

总结：子模型法利用全局粗网格位移场通过形函数插值驱动精细局部模型，在碟形弹簧应力集中分析中实现了计算成本与精度的最佳平衡，是工程中提取高精度 OM 点应力、优化疲劳设计的有效工具。

子模型法

公式表达式

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