DIN 2093 塑性累积 / 低周疲劳 (LCF)：Coffin‑Manson 应变‑寿命法

1. 低周疲劳的定义与适用场合

低周疲劳（Low Cycle Fatigue, LCF）通常指失效循环数 $N_f < 10^5$ 的疲劳破坏。与高周疲劳（应力控制，应力幅低于宏观屈服极限）不同，低周疲劳发生在大载荷下，每次循环会产生显著的塑性变形，损伤由塑性应变幅主导。

在碟形弹簧中，以下情况可能进入低周疲劳区： - 最大压缩量过大，导致 OM 点 等位置的弹性应力远超材料屈服强度，实际已产生循环塑性； - 承受冲击或过载，每次载荷循环都产生可观的塑性应变； - 服役温度较高，材料屈服强度下降，同样载荷下的塑性变形增大； - 有意利用塑性储备进行有限寿命设计（如应急缓冲器）。

低周疲劳评估必须基于应变幅而非应力幅，因为塑性阶段应力‑应变关系不再唯一。

2. Coffin‑Manson 关系式

Coffin‑Manson 定律描述了金属材料在低周疲劳区塑性应变幅 $\Delta\varepsilon_p$ 与失效循环数 $N_f$ 之间的幂函数关系：

或等价地：

式中： - $\Delta\varepsilon_p$ — 塑性应变范围（一个循环内塑性应变的最大值与最小值之差）； - $\varepsilon_f'$ — 疲劳延性系数（约为单调拉伸断裂真应变 $\varepsilon_f$）； - $c$ — 疲劳延性指数，对大多数金属 $c \approx -0.5 \sim -0.7$； - $C_p = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\varepsilon_f'} \right)^{1/|c|}$ — 合并常数； - $m_p = \frac{1}{|c|} \approx 0.5 \sim 0.7$ 对于弹簧钢。

工程常见取值（调质弹簧钢如 50CrV4，硬度 45~50 HRC）： - $m_p \approx 0.6$ - $C_p$ 约在 $0.2 \sim 0.5$（取决于 $\Delta\varepsilon_p$ 的单位为 mm/mm 即无量纲）；更常用的形式是直接利用材料的 Coffin‑Manson 曲线。

若采用总应变幅 $\Delta\varepsilon/2$，需将弹性应变幅与塑性应变幅分离。在低周疲劳主导区，塑性应变幅远大于弹性应变幅，因此可直接用塑性部分近似。

3. 参数确定方法

1. 材料试验：通过一系列对称循环应变控制试验，记录不同应变幅下的疲劳寿命，拟合得到 $\varepsilon_f'$ 和 $c$，进而计算 $m_p, C_p$。
2. 手册数据：部分材料标准或文献给出了 Coffin‑Manson 参数。例如，对于弹簧钢，$\varepsilon_f' \approx 0.5 \sim 1.0$，$c \approx -0.6$。
3. 近似估计（缺乏试验时）：利用单调拉伸塑性指标。Manson 通用斜率法给出：
   $$\Delta\varepsilon_p = 3.5 \cdot \frac{\sigma_b}{E} \cdot N_f^{-0.12} + D^{0.6} \cdot N_f^{-0.6}$$

其中 $\sigma_b$ 为抗拉强度，$D$ 为断面收缩率。但更推荐实测数据。

碟形弹簧的应用建议：由于碟簧材料经过喷丸和热处理，实际疲劳性能优于普通试样，使用标准数据可能保守，最好采用碟簧制品级别的 LCF 试验数据。

4. 从碟簧工作状态获取塑性应变幅 $\Delta\varepsilon_p$

碟形弹簧在低周疲劳工况下，OM 点是控制点。由于几何非线性和弹塑性，不能直接由弹性应力公式求塑性应变。获取 $\Delta\varepsilon_p$ 的方法：

4.1 弹塑性有限元分析（推荐）

• 建立含真实材料硬化曲线的碟簧模型；
• 施加最小压缩量 $s_{min}$ 和最大压缩量 $s_{max}$，进行两个极值点的静态分析（或直接循环加载）；
• 提取 OM 点在两个极限状态下的等效塑性应变 $\varepsilon_{eq}^{p}$；
• 塑性应变范围 $\Delta\varepsilon_p = \varepsilon_{eq,max}^{p} - \varepsilon_{eq,min}^{p}$。

若材料为随动硬化，塑性应变范围可直接用于 Coffin‑Manson 公式。

4.2 局部应力‑应变法（Neuber 修正）

在缺乏 FEA 时，可用弹性应力分析结合 Neuber 法则估算局部弹塑性应变：

其中 $S$ 为名义弹性应力（OM 点弹性值），$K_t$ 为理论应力集中系数（对光滑碟簧 OM 点 $K_t \approx 1.0$，若有齿等缺口则查表）。联合材料循环应力‑应变曲线 $\varepsilon = \sigma/E + (\sigma/K')^{1/n'}$，可求解出局部应力 $\sigma$ 和总应变 $\varepsilon$，进而得到塑性部分。此法适用于缺口明显的情况。

碟形弹簧一般无缺口，OM 点几何突变较小，可直接用有限元分析。

5. 平均应力修正

低周疲劳数据多来自对称循环（$R=-1$）。碟形弹簧的 OM 点通常承受脉动压应力（$R \approx 0$ 或正压），存在高平均压应力。需要对 Coffin‑Manson 关系进行平均应力修正。

最常用的是 Morrow 修正：

式中 $\sigma_m$ 为平均应力（代数值，压为负）。带入压应力后，等式右侧增大，表明同等塑性应变幅下，压平均应力提高疲劳寿命；反之拉平均应力降低寿命。对于碟簧，OM 点平均压应力高，修正后寿命较对称循环会有所延长。

设计时可采用如下简单判据：若 $\sigma_m \le -0.5\,R_{p0.2}$（足够大的压应力），可忽略平均应力不利影响，直接使用对称循环数据，保守设计。

6. 与高周疲劳 (S‑N) 的结合

整个疲劳寿命曲线可统一表示为 Basquin‑Coffin‑Manson 方程：

• 高周区：弹性应变主导，第一项为主；
• 低周区：塑性应变主导，第二项为主。

对于碟形弹簧，若工作应力幅处于高周与低周过渡区（如 $N_f \approx 10^5 \sim 10^6$），应同时评估，并取较保守的寿命。

7. 低周疲劳设计流程

1. 确定载荷循环：最小/最大压缩量 $s_{min}, s_{max}$。
2. 进行弹塑性 FEA（或使用 Neuber 法）获取 OM 点的 $\Delta\varepsilon_p$ 和 $\sigma_m$。
3. 查取材料 Coffin‑Manson 参数：$\varepsilon_f', c$ 或 $C_p, m_p$。
4. 应用 Morrow 修正（若需要）。
5. 计算预测寿命 $N_f$。
6. 安全系数：要求 $N_f \ge N_{req} \cdot S_{LCF}$，$S_{LCF} \ge 1.5$（低周疲劳安全系数通常较高）。
7. 若寿命不足，降低压缩量、增大碟簧尺寸、或选用疲劳延性更好的材料（如提高回火温度获得更好的塑性）。

8. 计算示例

碟簧：$D_e=40\ \text{mm}, D_i=20.4\ \text{mm}, t=2.0\ \text{mm}, h_0=1.2\ \text{mm}$，材料 50CrV4，$R_{p0.2}=1500\ \text{MPa}, E=206\,000\ \text{MPa}$。
工作循环：$s_{min}=0.2\ \text{mm}, s_{max}=0.9\ \text{mm}$。

弹塑性 FEA 结果： - 在 $s_{max}$ 时，OM 点等效塑性应变 $\varepsilon_{eq}^{p} = 0.012$ (1.2%)； - 在 $s_{min}$ 时，OM 点仍处于弹性（$\varepsilon_{eq}^{p} \approx 0$）； - $\Delta\varepsilon_p = 0.012$。

Coffin‑Manson 参数（材料实测）：$\varepsilon_f' = 0.6, c = -0.55$。

Morrow 修正：OM 点平均压应力 $\sigma_m \approx -800\ \text{MPa}$（代数值）。修正后：

精确计算：$\ln(2N_f) = -\frac{1}{0.55} \ln(0.009936) \approx -1.818 \times (-4.61) \approx 8.38$，$2N_f \approx e^{8.38} \approx 4350$，$N_f \approx 2175$ 次。

结论：预期寿命约 2 200 次循环，属于典型的低周疲劳。若要求寿命 > 10 000 次，需降低最大压缩量。

9. 注意事项

• 压应力与塑性：即使循环为脉动压缩，局部仍可产生塑性应变，Coffin‑Manson 关系仍适用。
• 滞回环能量：塑性变形耗能导致温度升高，可能引发蠕变‑疲劳交互，高温下需特别评估。
• 多轴效应：碟簧 OM 点实际为多向应力，但等效塑性应变已综合反映，可直接用于分析。
• 试验支持：低周疲劳参数离散度大，关键应用应进行应变控制疲劳试验校准模型。

总结：Coffin‑Manson 关系是碟形弹簧低周疲劳设计的核心工具，将塑性应变幅与疲劳寿命直接关联。通过弹塑性有限元提取 OM 点的塑性应变，结合 Morrow 平均应力修正，可较准确预测高载荷下的有限寿命，并为优化提供方向。